Offene und abgeschlossene Mengen im R^n

Question

Aufgabe:

1. (a) (Je 2P) Sind die folgenden Mengen im \( \mathbb{R}^{n} \) offen, abgeschlossen oder weder das eine noch das andere? Begründen Sie Ihre Antwort.
i. \( M_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1} \neq 0\right. \) und \( \left.x_{2} \neq 0\right\} \),
ii. \( M_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid 0<\|x\|_{2} \leq 1\right\} \)
iii. \( M_{3}=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\} \).

(b) (Je 2P) Zwei der Mengen aus Teil (a) sind nicht abgeschlossen. Bestimmen Sie jeweils den Abschluss.

Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich das mit den offenen und abgeschlossenen Mengen nicht. Ich bin dankbar für jede Hilfe oder Anreiz

Answer 1

Hello,

zur i) Eine Menge ist offen, wenn ihr Komplement abgeschlossen ist. Das Komplement von M1 ist der Punkt (0,0). Ist die Menge, die einen Punkt enthält offen oder abgeschlossen? Entweder du arbeitest mit der Definition: Für alle Epsilon gilt dass die Epsilon-Kugel um diesen Punkt die Menge nicht leer schneidet oder mit FOlgenkriterium, dass für jede konvergente Folge aus dieser Menge auch der Grenzwert in dieser Menge liegt (welche ist die einzige Folge dieser Menge?) . Gilt das?

ii) Ist das die eukltidische Norm? Die Menge ist offenbar weder abgeschlossen noch offen. Nicht Abgeschlossen kannst du wieder über Grenzwert zeigen (also gibt ne Folge an, bei der der GW nicht in der Menge liegt). Offen ist sie auch nicht: Denn für alle epsilon liegt die Kugel um einen Punkt (Welcher ist das?) nicht mehr vollständig in dieser Menge (Das ist die Negation der Definition)

iii) ist abgeschlossen -> Das ist der "Rand" einer Kugel und der Rand ist immer abgeschlossen, kannst es beweisen, indem du zeigst, dass das Komplement offen ist.