Stationäre Punkte, partielle Ableitungen auflösen

Question

Ich bräuchte bei dieser Aufgabe Hilfe, da ich nicht weiss wie es weitergeht.

Die beiden partiellen Ableitungen habe ich, jedoch weiss ich nicht wie ich die funktionen auflösen soll..

Wäre echt super falls mir einer helfen kann.

Answer 1

f(x,y) = 16·LN(12·x) - (x - 2·y)^2 - 4·y^2

f'(x, y) = [- 2·x + 16/x + 4·y, 4·x - 16·y] = [0, 0]

(x = -4 ∧ y = -1) ∨ (x = 4 ∧ y = 1)

Du löst z.B. eine Gleichung nach einer Unbekannten auf und setzt den erhaltenen Term in die andere Gleichung ein.

4·x - 16·y = 0 --> x = 4·y

Das nun in die andere Gleichung einsetzen und lösen

- 2·x + 16/x + 4·y = 0

- 2·(4·y) + 16/(4·y) + 4·y = 0 --> y = -1 ∨ y = 1

Damit jetzt auch noch x berechnen.

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Wow, vielen Dank für die schnelle Antwort!

Answer 2

Hallo Unihoh,

deine partiellen Ableitungen sind richtig.

   16/x  - 2·x + 4·y = 0

    4·x - 16·y = 0    ⇔  x = 4y

x in G1   einsetzen:

4/y - 4·y  = 0   ⇔_y≠0   y² = 1  ⇔  y = ± 1 

y einsetzen:

( x  = - 4  ∧  y = -1 )   oder   ( x = 4  ∧  y = 1 )

Stationäre Punkte:   ( - 4 | -1 )  ;  ( 4 | 1)

Gruß Wolfgang

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Auch dir danke ich für die schnelle Antwort, hat mir sehr geholfen!