Schau bitte nochmal in meine Antwort. Mir war ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Es gibt drei stationäre Punkte, nicht nur einen.
Da gibt es das Hauptminoren-Kriterium. Wenn die Hauptminoren alle positiv sind, ist die Matrix positiv definit. Wechseln die Hauptminoren ihr Vorzeichen regelmäßig ab (beginnend mit negativ), ist die Matrix negativ definit.
Hier ist die Hesse-Matrix$$H(x;y)=\begin{pmatrix}3x^2 & -8y\\-8y & -8x\end{pmatrix}$$allerdings eine \(2\times2\)-Matrix. Für eine solche argumentierst du schneller über die Eigenwerte. Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen und das Produkt der Eigenwerte einer Matrix ist gleich ihrer Determinante. Bei einer \(2x2\)-Matrix kannst du daraus die Eigenwerte sofort bestimmen. Wir gehen mal die 3 Kandidaten durch:
$$H(0;-\frac{1}{2})=\begin{pmatrix}0 & 4\\4 & 0\end{pmatrix}\implies\lambda_1+\lambda_2=0\;;\;\lambda_1\cdot\lambda_2=-16$$$$\implies\lambda_1=-4\;;\;\lambda_2=4\implies\text{indefinit}$$$$H(0;\frac{1}{2})=\begin{pmatrix}0 & -4\\-4 & 0\end{pmatrix}\implies\lambda_1+\lambda_2=0\;;\;\lambda_1\cdot\lambda_2=-16$$$$\implies\lambda_1=-4\;;\;\lambda_2=4\implies\text{indefinit}$$$$H(-1;0)=\begin{pmatrix}3 & 0\\0 & 8\end{pmatrix}\implies\lambda_1+\lambda_2=11\;;\;\lambda_1\cdot\lambda_2=24$$$$\implies\lambda_1=3\;;\;\lambda_2=8\implies\text{positiv definit}$$
Wir haben also zwei Sattelpunkte und ein Minimum.
