konvergenzradius von summe (x^{n!}) mit cauchy hadamard bestimmen

Question

ich weiß nicht wie man mit der Fakultät im Exponenten umgehen soll. Die Folge gemäß summe (a_n(x-x₀)ⁿ ist ja in meinem Beispiel 1 und konvergiert auch gegen 1. Mit Cauchy-Hadamard kommt dann 1 als Konvergenzradius raus, was auch der Lösung entspricht.

Die Formel von Cauchy geht ja aber nur für Potenzreihen der Form Summe  (a_n(x-x₀)ⁿ). In meinem Beispiel ist es ja x^(n!).

Wieso darf man bei meinem Beispiel dann trotz der Fakultät Cauchy-Hadamard anwenden?

Answer 1

schreib mal die Summe explizit auf:

∑ x^{n!} = x^1+x^1+x^2+x^6+....

und jetzt kann man das nochmal etwas genauer hinschreiben:

∑ x^{n!} = 0*x^0+2*x^1+1*x^2+0*x^3+0*x^4+0*x^5+1*x^6+...

Also ergibt sich

$$ \sum_{n=0}^{\infty}{x^{n!}}=\sum_{n=0}^{\infty}{}{ a }_{ n }x^n\\\text{mit: }\\{ a }_{ n }=\{2|n=1;1|n=k!,k\in\mathbb{N},k>1;0 |sonst\} $$

darauf kann man nun Cauchy-Hadamard anwenden.

Comments

Aber lim sup von an wäre doch dann 2 und damit der konvergenzradius 1/2? Lösung soll 1 sein.

---

Also a_n hat nur 2 Häufungspunkte: 0 und 1.

Der limes superior von a_n ist somit 1

---

Aber du hast doch oben bei der Fallunterscheidung  geschrieben, dass an=2 wenn n=1 ist oder?

---

Ja das ist aber nur eine einzige Stelle und für die Berechnung des limes superior nicht von Bedeutung.

---

Ist das dann kein Häufungspunkt?

---

Ja, das ist  kein Häufungspunkt.