Flächeninhalt berechnen (un)endlich? f(x) = π/2 - 1/x, g(x) = arctan(x) und x=1

Question

Hey:)

Kann mir jemand hier helfen?

Dachte jetzt, dass der Flächeninhalt nicht existiert, weil wenn man das sieht, sieht man ja dass f(x) und g(x) immer größer werden, also würd ich sagen,dass es keinen gibt

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

Wenn man davon ausgeht, dass  f(x) und g(x) keinen Schnittpunkt haben (vgl. unten #), dann ist der gesuchte Flächeninhalt

₁∫^∞ (g(x) - f(x))  dx   =  limz→∞  ₁∫^z ( arctan(x) - (π/2 - 1/x) ) dx

    =  limz→∞  ₁∫^z ( arctan(x) - π/2 + 1/x) ) dx

    =   limz→∞  [ x·arctan(x) - ln(x² + 1)/2 - π/2·x + ln(x) ]₁^z

    =   limz→∞  [ x·(arctan(x) - π/2)  +  ln(x) - ln(x² + 1) / 2 ]₁^z

    =   lim_z→∞  ( z·(arctan(z) - π/2)  +  ln(z) - ln(z² + 1) / 2 - ( 1· (π/4 -  π/2) + 0 - ln(2)/2 )

    =_#   -1  + 0  + π/4 +  ln(2)/2   =  ln(2)/2 + π/4 - 1      

         [ =  (ln(4/e⁴)+π)/4 = ln(√2)+(π/4) -1 , angegeben von Gast2166  bzw. von Simon ]  

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#

lim_z→∞  [ z·(arctan(z) - π/2 ] =  im_z→∞  [ (arctan(z) - π/2) / (1/z) ] = "0/0"

     =_Hospital   lim_z→∞ [ (1/(z² + 1)) / ( -1/z²) ]  =    lim_z→∞ [ - z² / (z² + 1) ]  =  -1

 lim_z→∞ [ ln(z) - ln(z² + 1) / 2 ]  =   lim_z→∞  [ ( 2 ln(z) - ln(z² + 1) ) / 2 ]  

                         =   lim_z→∞  [ ( ln(z² / (z² + 1) ) / 2 ]  =  ln(1) / 2  =  0

Der Nachweis  f(x)  ≠_[1,∞[  g(x)  ist mir aber bisher nicht gelungen. Lustigerweise berechnen das Näherungsverfahren meines Rechners und das Newtonverfahren tatsächlich Schnittstellen, die sich extrem widersprechen, obwohl die Funktion g(x) - f(x) den Ableitungsterm  - 1/(x²·(x² + 1)) < 0  hat und damit streng monoton fallend ist und deshalb höchstens eine Nullstelle haben könnte. Das liegt daran, dass lim_x→∞ (g(x) - f(x)) = 0 ist und die Werte dann irgendwann so klein werden, dass sich im Rahmen der Rechengenauigkeit 0 ergibt, was bei verschiedenen Verfahren für unterschiedliche x-Werte der Fall sein kann, auch wenn gar keine Nullstelle vorliegt.

Gruß Wolfgang

Nachtrag: 

Auf meine Nachfrage hin hat Ullim dies hier begründet:

https://www.mathelounge.de/454666/arctan-x-%E2%89%A0-%CF%80-2-1-x-in-1-%E2%88%9E

Damit ist die oben im 1.Satz genannte Voraussetzung gezeigt und alles weitere richtig :-)

Comments

 lim_z→∞ [ ln(z) - ln(z² + 1) / 2 ]  =   lim_z→∞  [ ( 2 ln(z) - ln(z² + 1) ) / 2 ]

                         =   lim_z→∞  [ ( ln(z² / (z² + 1) ) / 2 ]  =  ln(1) / 2  =  0

Wie kommst du genau auf diesen Schritt? Weil da steht ja 2 ln(z) und nicht ln (z^2 ) 

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Logarithmensatz:   ln(aⁿ) = n * ln(a)

Answer 2

:-)

Blau: g(x), Rot: f(x), Grün: x = 1

₁∫^t [ g(x) - f(x) ] dx = -1/2 ln(t^2+1) - π*t/2 + ln(t) + t arctan(t) - [-1/2 ln(1^2+1) - π/2 + ln(1) + arctan(1)]

= - 1/2 ln(t^2+1) - π*t/2 + ln(t) + t*arctan(t) + π/4 + ln(2)/2

lim _t→∞ [ - 1/2 ln(t^2+1) - π*t/2 + ln(t) + t*arctan(t) + π/4 + ln(2)/2 ] = ln(4)/4 + pi/4 - 1 = ln(√2) + (π/4) -1

Edit: Fehler korrigiert. Vielen Dank @Simon.

Beste Grüße
gorgar

Comments

(ln(4/e^4)+π)/4

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Hallo gorgar,

Du musst das Integral der Differenzfunktion ∫[arctan(x)-((1/x)-(π/2))] dx betrachten

Dieses konvergiert gegen ln(√2)+(π/4) -1

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Hallo Simon, vielen Dank für den Hinweis, werde es korrigieren!

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Ich versteh nicht so ganz diesen Schritt. Wohin verschwindet das t?

lim _t→∞ [ - 1/2 ln(t²+1) - π*t/2 + ln(t) + t*arctan(t) + π/4 + ln(2)/2 ] = ln(4)/4 + pi/4 - 1 = ln(√2) + (π/4) -1 

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Das t geht gegen unendlich und verschwindet.

lim _t→∞  ( - 1/2 ln(t^2+1) - π*t/2 + ln(t) + t*arctan(t) + π/4 + ln(2)/2 ] ) lässt sich umschreiben:
π/4 + ln(2)/2 können als Konstanten vorgezogen werden

(π/4 + ln(2)/2) lim _t→∞ (- 1/2 ln(t^2+1) - π*t/2 + ln(t) + t*arctan(t)) =
(π/4 + ln(2)/2) lim _t→∞ ( t*arctan(t) - π*t/2) + ln(t) - 1/2 ln(t^2+1)  )

t*arctan(t) - t* π/2  konvergiert gegen -1 und ln(t) - 1/2 ln(t^2+1) konvergiert gegen 0.
Also (π/4 + ln(2)/2) lim _t→∞ ( t*arctan(t) - t* π/2 + ln(t) - 1/2 ln(t^2+1)  ) = π/4 + ln(2)/2 - 1 + 0 = ln(√2) + (π/4)  - 1

:-)

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Müsste es nicht eigentlich -pi/2 heißen?

Weil -arctan(1)+pi/2 = -pi/2

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-pi/2 ? An welcher Stelle? Es ist aber  -arctan(1) + pi/2 = pi/4 ≠ pi/2

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Aber es müsste -arctan(1) sein

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arctan(1) = π/4     →     - arctan(1) + pi/2  =  - π/4 + π/2  =  π/4 

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Man war ich blind. Hab vergessen pi/2 auf den Nenner 4 zu bringen und hab ausversehen subtrahiert.

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@gorgar

sollte man sich nicht bei der Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Funktionsgraphen vor dem Integrieren Gedanken bzgl. eventueller Schnittstellen machen?