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.Es geht um folgende Funktionen:

y=sin^3(t) und x=cos^2(t) (in Parameterdarstellung)

Ich soll nun die Gleichung der Tangenten im Punkt

P{1/4 , (3*sqrt(3))/8 } angeben.

Dafür hab ich y'= 3*sin^2(t)*cos(t) berechnet.

für t hab ich dann x = 1/4 eingesetzt.

(Wobei ich glaube das hier der Fehler liegt, wüsste aber nicht was ich stattdessen einsetzen soll)

Dann alles y=mx+b eingeben.

Bekomme aber was falsches raus.

Lösung soll sein:

y= -(3*sqrt(3))/4 * x + (9*sqrt(3))/16

! t gilt für -pi/2 bis pi/2


Danke für die Hilfe

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Beste Antwort

Dafür hab ich y'= 3*sin2(t)*cos(t) berechnet.

für t hab ich dann x = 1/4 eingesetzt.

(Wobei ich glaube das hier der Fehler liegt, wüsste aber nicht was ich stattdessen einsetzen soll)

Du musst den Tangentialvektor  ( x '(t)  ; y '(t) )  an dem Punkt bestimmen.

Dazu  musst ja das t so bestimmen, dass

y= und x=cos2(t) P{1/4 , (3*sqrt(3))/8 }

cos2(t)   =  1/4   und  sin3(t) = 3*sqrt(3)/8

==>  cos(t) = ±1/2   ==>  t = ±pi/3

Nur für den positiven Wert gilt   sin3(t) = 3*sqrt(3)/8, also  t = pi/3

Und   x '(t)  = - 2 cos(t) * sin(t) und y ' hattest du ja y'= 3*sin2(t)*cos(t)

  t = pi/3 einsetzen gibt Tangentialvektor ( - 0,5√3   ;  9/8 ) , also

Steigung  m = ( 9/8 )  / (- 0,5√3  )  = - 0,75*√3

Das stimmt schon mal. Jetzt noch bei

y =  - 0,75*√3  * x + n den Punkt einsetzen und n ausrechnen.

Punkt war ja 1/4 , (3*sqrt(3))/8

Avatar von 289 k 🚀
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Du schreibst: "für t hab ich dann x = 1/4 eingesetzt. (Wobei ich glaube das hier der Fehler liegt, wüsste aber nicht was ich stattdessen einsetzen soll)"

Das siehst Du richtig - \(t \ne x\). Um die Tangente zu bestimmen, benötigst Du einen Punkt und die Steigung der Tangente. Der Punkt P ist bereits gegeben - fehlt noch die Steigung. Und die ist:

$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}= \frac{\dot y}{ \dot x}$$

$$\dot y = 3 \sin^2{(t)} \cos{(t)}; \quad \dot x = -2 \sin{(t)}\cos{(t)} $$

$$y' = \frac{ 3 \sin^2{(t)} \cos{(t)}}{-2 \sin{(t)}\cos{(t)}}= \frac{-3}{2}\sin{(t)}$$

und die Steigung im Punkt P ist dann

$$y'(t_P)=\frac{-3}{2}\sin{(t_p)}=\frac{-3}{4} \sqrt{3} \quad \text{da} \space y=\sin^3{(t)} \space\Rightarrow \sin{(t_P)}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$

Die Geradengleichung der Tangente ist dann

$$g(x) = \frac{-3}{4} \sqrt{3}\left( x - \frac{1}{4}\right) + \frac{3}{8} \sqrt{3}=\frac{-3}{4}\sqrt{3}x +\frac{9}{16} \sqrt{3}$$

Gruß Werner


Avatar von 48 k
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Hier meine Berechnungen

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Deine Lösung weicht ja offensichtlich von der des Aufgabenstellers ab, der also in deinen Augen doch wohl Fehler macht. Warum übernimmst du dann so fürchterlich unkritisch seinen y-Wert anstatt den auch erst mal auf Richtigkeit zu überprüfen ?

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