Berechnen Sie auf sechs Nachkommastellen genau den Wert von (siehe aufg.) mittels numerischer Integration.

Question

$$ln2=\int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ x } dx } $$

Wie fein muss das Intervall unterteilt werden, wenn Sie die SIMPSONregel benutzen?

Answer 1

ich hab es mal mit meinem Programm durchgerechnet und komme auf ziemlich genau N=7 Unterteilungen des Intervalls [1,2] für die Simpsonregel.

Answer 2

nach Giuseppe Peano beträgt der Fehler

$$| E(f) | \le \frac{b-a}{2880} h^4 \max_{a \le x \le b} \left| f ^{(4)}(x)\right|$$

Hier ist \(a=1\) und \(b=2\) und \(f=\frac{1}{x}\)

$$f ^{(4)}(x) = \frac{24}{x^5} \quad \Rightarrow \max_{a \le x \le b} \left| f ^{(4)}(x)\right| = 24$$

Damit lässt sich der minimal notwendige Wert für \(h\) berechnen. Aus der Forderung \(|E(f)| \le 0,5 \cdot 10^{-6}\) folgt

$$\frac{b-a}{2880} h^4 \cdot 24\le 0,5 \cdot 10^{-6} \quad \Rightarrow h \le 0,088$$

$$N=\left \lceil \frac{1}{h} \right \rceil=12$$

Du benötigst also \(2N+1=25\) Funktionswerte um \(\ln{2}\) sicher auf 6 Nachkommastellen genau zu berechnen. Die Genauigkeit wird aber besser sein, da dies nur eine Worst-Case-Annahme ist..

Gruß Werner