Beweis Sattelpunkt weder positiv noch negativ definit

Question

Hey:)

Ich würde sagen, dass b stimmt, jedoch a nicht.

Jedoch weiß ich nicht, wie ich beide Sachen zeigen beziehungsweise widerlegen kann.

Würde mich über eure Denkanstöße freuen

Answer 1

Kennst du diese beiden Aussagen für normale Funktionen.

i) Ist x0 ein Sattelpunkt, so gilt f'(x0) = 0 und f''(x0) = 0

ii) Ist f'(x0) = 0 und f''(x0) = 0, so ist x0 ein Sattelpunkt.

Wie ist das hier mit der Aussage?

Wieder zurück zu Deiner Aussage.

Wie ist das für f(x, y) = x^4 + y^4 ?

Comments

Bei der Funktion erhielte man ja die Hesse-Matrix für x=0 und y=0 nur mit 0 Einträgen.

Und daraus folgere ich, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt, weil die Matrix indefinit ist

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Dann schau dir mal den Funktionsterm an und sag mir wieso es kein Sattelpunkt sein kann? Es ist ja denke ich der einzige kritische Punkt oder?

Du darfst aber auch gerne nochmal die normale Funktion

f(x) = x^4

auf Extrempunkte und Sattelpunkte untersuchen.

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x⁴ hat keine Sattelpunkte. Willst du mir damit sagen, dass Aussage b falsch ist?

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Ich will dir eigentlich nichts sagen. Ich würde mich aber freuen wenn du in die Richtung denkst und weiter überlegst warum das eine Wahr und das andere falsch ist.

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Also ich hab jetzt für die b das Gegenbeispiel x^4+y^4.

Nun hänge ich bei der a, weil ich nicht genau weiß, wie ich das zeigen soll

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Ist x0 ein Sattelpunkt. Also du nimmst an das x0 ein Sattelpunkt ist.

Warum muss f'(x0) = 0 sein. kannst du das Begründen? Was berechnet die erste Ableitung?

Warum muss f''(x0) weder positiv noch negativ definit sein? Was wäre wenn sie positiv definit wäre, was wäre wenn sie negativ definit wäre.

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Also die erste Ableitung muss null sein, weil an einem Sattelpunkt eine Tanente anliegt mit der Steigung null.

Die zweite Ableitung darf nicht positiv noch negativ definit sein, da sonst ein Maximum oder Minimum wäre.

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Das klingt gut. Ok. Es sollte Tangentialebene statt Tangente lauten. Aber ich denke du meinst das Richtige.

Damit hättest du i) begründet und ii) wiederlegt.

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Also einfach für die i:

Sei x0 ein Sattelpunkt. So existiert weil f'(x0)=0 gilt, eine Tangentialebene. Dabei muss f"(x0)=0 sein, da sonst es ein Maximum oder ein Minimum gäbe.

ii) Gegenbespiel ja schon erwähnt