Ableitung von (-2x)/((1+x^2)^2)

Question

Kann mir jemand Schritt für Schritt erklären, wie man (-2x)/(1+x^2)^2) ableitet?

Answer 1

Nenner mal Abl. vom Zähler minus Zähler mal Abl. vom Nenner.
Das Ganze durch Nenner ² .

((1+x²)² * (-2) - (-2x)*2*(1+x²) * 2x   )   / (1+x²)⁴

= (1+x²) * ((1+x²) * (-2) - (-2x)*2* 2x   ) /   / (1+x²)⁴

=  ((1+x²) * (-2) - (-2x)*2* 2x   ) /   (1+x²)³

= (6x² - 2 )   / (1+x²)³

Answer 2

In der 2.Zeile mit y' wurde (1 +x^2) im Zähler ausgeklammert und dann gekürzt.

Answer 3

Hallo !

Dafür kannst du auch schreiben :

f(x) = (-2 * x) * ((1 + x ^ 2) ^ (-2))

Kurzschreibweise :

f = u * v

u = -2 * x

v = ((1 + x ^ 2) ^ (-2))

u´ = -2

v´ = (2 * x) * (-2) * ((1 + x ^ 2) ^ (-3)) (Das ist einfach die Kettenregel, also Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion)

v´ = - 4 * x * ((1 + x ^ 2) ^ (-3))

Nun Produktregel anwenden :

f´ = u´ * v + u * v´

f´(x) = - 2 * ((1 + x ^ 2) ^ (-2)) - 2 * x * - 4 * x * ((1 + x ^ 2) ^ (-3))

Vereinfachen :

f´(x) = - 2 / ((1 + x ^ 2) ^ 2)  + 8 * x ^ 2 / ((1 + x ^ 2) ^ 3)

f´(x) = 8 * x ^ 2 / ((1 + x ^ 2) ^ 3) - 2 / ((1 + x ^ 2) ^ 2)