In einer Menge mit n Elementen kann man jedes Element mit jedem Verknüpfen.
Die Antwort auf deine erste Frage ist also: n2
Wenn wir uns in einer abelschen Gruppe befinden (alle Operationen sind kommutativ), dann gilt immer a x b = b x a
Also "aus 2 mach 1". Aber Achtung: für alle a x a = a x a gilt das nicht.
Deshalb folgender Ansatz:
Das erste Element kann mit n Elementen verknüpft werden, das zweite mit (n-1), das dritte mit (n-2), usw.
So gibt es keine Überschneidungen und alle möglichen Vernüpfungen sind gezählt.
Es gibt also 1+2+3+...+n = (n2+n)/2 verschiedene kommutative Verknüpfungen.
Da es immer nur ein neutrales Element gibt und eine Verknüpfung mit dem neutralen Element per Definition kommutativ ist (jedenfalls in einer Gruppe/einem Monoid), also e x a = a x e = a, gibt es mit dem neutralen Element genau n mögliche Verknüpfungen.