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Hab da mal eine Frage, wie Beweise ich diese Abschätzung?

Weil ich weiß nicht so recht wie man da drauf kommt. Muss man das mit vollständiger Induktion machen?

Bild Mathematik

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Wo genau siehst du eine e-Funktion?

EDIT: Antwort auf Scherz von Mathecoach im folgenden Kommentar versteckt sich in folgendem Video.

 

Na das Summenzeichen ist doch ein großes E.

Hast du das etwa nicht gesehen ;-)

Obwohl das Summenzeichen ist ja offenbar richtig erkannt worden.

Wäre vollständige Induktion eine Idee, weil sonst wüsste ich nicht, wie ich das abschätzen sollte

1 Antwort

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Beste Antwort

Das enscheidende ist der Tipp, der unter der Aufgabe steht.

Verteile doch mal in Gedanken den Wert von \(a\) auf die \(x_i\). Z.B. so ungleichmäßig, so dass für genau ein \(i\) \(x_i=a\) ist und \(x_j=0\) für alle \(j\) mit  \(j \ne i\). Dann ist doch schnell zu sehen, dass die Summe auf der linken Seite zu 0 wird. Da sie offensichtlich auch nicht kleiner als 0 sein kann (da \(x_i \ge 0\) für alle \(i\)), muss es sich dabei wohl um ein Minimun handeln.

Im nächsten Versuch wird alles gleichmäßig verteilt. Das gibt \(x_i=a/n\) für alle \(i\). D.h. alle Produkte haben den gleichen Wert \(a^2/n^2\). Aber wie viele Produkte bzw. Summanden liegen denn vor?  Dazu schreibe ich alle Summanden in eine Tabelle


x1
x2
x3
x4
x5
x1

x1*x2
x1*x3x1*x4x1*x5
x2


x2*x3x2*x4x2*x5
x3



x3*x4x3*x5
x4




x4*x5
x5





Die Anzahl der Elemente in der Tabelle - und damit die Anzahl der Summanden - entspricht den Dreieckszahlen - und die lassen sich mit der Gauß'schen Summenformel für \(n-1\) berechnen. Also ist die Summe oben, für den Fall dass alle \(x_i=x_j\) sind:

$$\sum=\frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{a^2}{n^2}=\frac{1}{2}\left( \frac{n-1}{n}\right) a^2=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{n}\right) a^2$$

... was genau dem Term auf der rechtem Seite entspricht. Als nächstes variiere ich zwei Werte mit den Indizes \(k\) und \(l\) derart um einen ausreichend kleinen, aber positiven Wert \(\epsilon>0\), dass \(x_k=(1 + \epsilon)a/n\) und \(x_l=(1 - \epsilon)a/n\). Da jedes \(x_i\) genau \(n-1\) mal als Faktor in einem der Produkte vorkommt, existieren genau \(n-2\) Produkte mit dem Wert \(a^2/n^2(1-\epsilon)\) und \(n-2\) Produkte mit dem Wert \(a^2/n^2(1+\epsilon)\). Die Summe dieser zweimal \(n-2\) Produkte ist also genauso groß, als ob \(\epsilon=0\) wäre. Nur genau ein Produkt - nämlich \(x_k\cdot x_l\) - hat den Wert \(a^2/n^2(1-\epsilon^2)\) und ist somit kleiner als \(a^2/n^2\). Daraus folgt, dass auch die Gesamtsumme mit wachsendem \(\epsilon\) kleiner wird.

Es liegt also ein Maximum vor; und damit ist belegt, dass die Summe nie größer werden kann, als der Wert, bei dem alle \(x_i\) gleich groß sind.

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