Das enscheidende ist der Tipp, der unter der Aufgabe steht.
Verteile doch mal in Gedanken den Wert von \(a\) auf die \(x_i\). Z.B. so ungleichmäßig, so dass für genau ein \(i\) \(x_i=a\) ist und \(x_j=0\) für alle \(j\) mit \(j \ne i\). Dann ist doch schnell zu sehen, dass die Summe auf der linken Seite zu 0 wird. Da sie offensichtlich auch nicht kleiner als 0 sein kann (da \(x_i \ge 0\) für alle \(i\)), muss es sich dabei wohl um ein Minimun handeln.
Im nächsten Versuch wird alles gleichmäßig verteilt. Das gibt \(x_i=a/n\) für alle \(i\). D.h. alle Produkte haben den gleichen Wert \(a^2/n^2\). Aber wie viele Produkte bzw. Summanden liegen denn vor? Dazu schreibe ich alle Summanden in eine Tabelle
| x1
| x2
| x3
| x4
| x5
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x1
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| x1*x2
| x1*x3 | x1*x4 | x1*x5 |
x2
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| x2*x3 | x2*x4 | x2*x5 |
x3
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| x3*x4 | x3*x5 |
x4
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| x4*x5
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x5
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Die Anzahl der Elemente in der Tabelle - und damit die Anzahl der Summanden - entspricht den Dreieckszahlen - und die lassen sich mit der Gauß'schen Summenformel für \(n-1\) berechnen. Also ist die Summe oben, für den Fall dass alle \(x_i=x_j\) sind:
$$\sum=\frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{a^2}{n^2}=\frac{1}{2}\left( \frac{n-1}{n}\right) a^2=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{n}\right) a^2$$
... was genau dem Term auf der rechtem Seite entspricht. Als nächstes variiere ich zwei Werte mit den Indizes \(k\) und \(l\) derart um einen ausreichend kleinen, aber positiven Wert \(\epsilon>0\), dass \(x_k=(1 + \epsilon)a/n\) und \(x_l=(1 - \epsilon)a/n\). Da jedes \(x_i\) genau \(n-1\) mal als Faktor in einem der Produkte vorkommt, existieren genau \(n-2\) Produkte mit dem Wert \(a^2/n^2(1-\epsilon)\) und \(n-2\) Produkte mit dem Wert \(a^2/n^2(1+\epsilon)\). Die Summe dieser zweimal \(n-2\) Produkte ist also genauso groß, als ob \(\epsilon=0\) wäre. Nur genau ein Produkt - nämlich \(x_k\cdot x_l\) - hat den Wert \(a^2/n^2(1-\epsilon^2)\) und ist somit kleiner als \(a^2/n^2\). Daraus folgt, dass auch die Gesamtsumme mit wachsendem \(\epsilon\) kleiner wird.
Es liegt also ein Maximum vor; und damit ist belegt, dass die Summe nie größer werden kann, als der Wert, bei dem alle \(x_i\) gleich groß sind.
