Partialbruchzerlegung von (2x^2+x+1)/((x+3)(x-1)^2), Verständnis

Question

ich möchte mit diesem Term: (2x^2+x+1)/((x+3)(x-1)^2) eine Partialbruchzerlegung machen.

Ich verstehe nicht so richtig wieso man dann auf: A/(x+3) + B/(x-1) + C/(x-1)^2 kommen soll.

Wieso das Quadrat bei dem Term C. Wir haben doch eine doppelte Nullstelle am Punkt 1. Wieso dann nicht einfach das Quadrat weglassen, man schreibt doch extra zweimal Konstante/(x-1).

Kann mir das jemand erklären, weshalb beim Term C das Qudrat steht, ich hätte das keins hingemacht.

Gruß

Answer 1

> Wieso das Quadrat bei dem Term C

Weil x = 1 eine Polstelle der Ordnung 2 ist.

Im Gegensatz dazu ist x = -3 eine Polstelle der Ordnung 1, deshalb benötigt man keinen Summanden D/(x+3)².

Allgemein baucht man für eine Partialbuchzerlegung von p(x)/(x-z)^j die Summanden a₁/(x-z) + a₂/(x-z)² + ... + a_j/(x-z)^j.

Comments

Achso wenn ich also beispielsweise im Nenner folgendes stehen hätte:

(x-3)^3(x-1)^2(x-5) hätte ich es so überführt: A/(x-3)+B/(x-3)^2+C/(x-3)^3+D/(x-1)+E/(x-1)^2+F/(x-5) ?

---

Ja, das ist richtig.