Lineare Regression berechnen

Question

Für fünf ausgewählte private Haushalte wurden jeweils Monatsdurchschnitte für die Höhe des Nettoeinkommens X (in 1000Euro) und die Höhe der Telefonrechnung Y (in 100 Euro) ermittelt.

Haushalte        x                  y

1                     2.6              2.9

2                     2.1              2.5

3                     1.4              1.9

4                    3.5               3.4

5                   1.7                2.2

a) Berechnen Sie die Koeffizienten der linearen Einfachregression von Y auf X.

Die Koeffizienten der linearen Einfachregression (Y=a+ X*b) lauten:

a =

b=

b) Prognostizieren Sie unter Verwendung der Ergebnisse von Aufgabe a) die Höhe der Telefonrechnung für einen Haushalt mit einem durchschnittlichen Nettoeinkommen von 1900 Euro im Monat. Die Höhe der Telefonrechnung (in Euro) ist:

c) Um wie viel veränderten sich die durchschnittlichen Ausgaben für das Telefon pro Haushalt, wenn das monatliche Nettoeinkommen um 200 Euro steigt ?Die durchschnittlichen Ausgaben stiegen um den Betrag von ..?

d) Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: lineare Regressionsanalyse, Koeffizienten

Stichworte: statistik,regression,koeffizient

Für fünf ausgewählte private Haushalte wurden jeweils Monatsdurchschnitte für die Höhe des Nettoeinkommens X (in 1000 Euro) und die Höhe der Telefonrechnung Y (in 100 Euro ermittelt: 

Haushalte          X                Y

1                     2.6              1.9

2                    2.1                2.4

3                  1.4                  1.1

4                   3.5                2.8

5                   1.7              1.3

a) Berechnen Sie die Koeffizienten der linearen Einfachregression von Y auf X. Die Koeffizienten der linearen Einfachregression (Y = α + X * b) lauten: 

α = ?    b= ?

b) Prognostizieren Sie unter Verwendung der Ergebnisse von Aufgabe a) die Höhe der Telefonrechnung für einen Haushalt mit einem durchschnittlichen Nettoeinkommen von 2300 Euro im Monat. Die Höhe der Telefonrechnung ist ? 

c) Um wie viel veränderten sich die durchschnittlichen Ausgaben für das Telefon pro Haushalt, wenn das monatliche Nettoeinkommen um 200 Euro steigt? 

d) Berechnen sie das Bestimmtheitsmaß. 

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Hatten wir das nicht schon einmal ?

https://www.mathelounge.de/460300/lineare-regression-berechnen

Answer 1

Hallo Anisa  ,

Die Koeffizienten m und n der  Regressionsgeraden  z = b * x + a   erhält man aus: 

 \(\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4&x_5\end{pmatrix}\) * \(\begin{pmatrix} 1&x_1\\ 1&x_2\\ 1&x_3\\1&x_4\\1&x_5\end{pmatrix}\) * \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\)  

                                              =    \(\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4&x_5\end{pmatrix}\)  *  \(\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\y_4\\y_5\end{pmatrix}\)

x_i und y_i  einsetzen, Matrixmultiplikationen ausführen  und dann  das LGS  lösen.

A * \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\)  =  B  

Kontrollergebnis für  Regressionsgerade:    y = 0,708638 * x + 0,978477 

a = 0,978477   ;  b =  0,708638  

Das kannst du mit diesem Online-Rechner überprüfen:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/regr.htm

b)   x = 1,9  in Regressionsgerade einsetzen und y ausrechnen.

c)   b =  Δy / Δx  →  Δy = b *  Δx  = 0,708638 * 0,2 = 0.1417276    [ 14,17  € ] 

Zum Bestimmtheitsmaß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Bestimmtheitsma%C3%9F#Beispiel

Gruß Wolfgang

Comments

Verstehe nicht genau was beim ersten schritt gemacht wird, wie man auf 0,97.. kommt 

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Kannst du Matrizen multiplizieren?

Answer 2

Der Regressionsrechner sagt

f ( x )  = 0,708638 * x + 0,978477

b.)
f ( 1.9 )  = 0,708638 * 1.9 + 0,978477

c.)
0,708638* 0.2

Comments

wie komme ich auf die 0,7086 und die 0,9754

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Hier die Berechnung zu Fuß

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

m = 0.709
b = 0.978

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Wie löst man so eine Gleichung? 

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ah okay ich habs.. und wie mache ich aufgabe d) ? 

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Du hast nicht nur eine Gleichung sondern
zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten : m und b

Stelle die erste Gleichung nach b um und setze
b in die zweite Gleichung ein. Dann hast du dort
nur noch m als Unbekannte.

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Leider kann ich dir beim Bestimmheitsmaß
nicht behilflich sein.

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bei b) soll 232.9 € rauskommen ... verstehe nicht warum 

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b.)  f ( 1.9 ) = 0,708638 * 1.9 + 0,978477
2.3249 = 232.49 €

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Könntet ihr mir einmal erklären, woher die 1,9 stammen?

Danke vorab

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könntet ihr mir einmal erklären, woher die 1,9 stammen?

Aufgabenteil b):

Prognostizieren Sie unter Verwendung der Ergebnisse von Aufgabe a) die Höhe der Telefonrechnung für einen Haushalt mit einem durchschnittlichen Nettoeinkommen von 1900 Euro im Monat.

$$1900 \, € = 1,9 \cdot 1000\,€$$

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ach ich habe das Duplikat mit 2300 gesehen danke..

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bei x² wie kommst auf die Ergebnisse ?

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bei x^2 wie kommst auf die Ergebnisse ?

Meinst du die handschriftliche Rechnung ?
wenn
x = 2.6
dann
x^2 = 6.76

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Ah ich habs danke.

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

m = 0.709
b = 0.978

wie hast du hier gerechnet ?

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Wenn dir das handschriftliche klar ist
dann ergibt sich

12.9 = m * 11.3 + 5 * b
31.09 = m * 28.7 + b * 11.9

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Für dich lösbar ?

Sonst frag nach .

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Bei mir kommen andere Zahlen raus ..

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Da teile mir deine Zahlen mit.
Bei Wolfgang kam dasselbe heraus.

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12.9 = m * 11.3 + 5 * b

12.9-5= 7.9/11.3= 0.6991

31.09 = m * 28.7 + b * 11.9

31.09-11.9=19.19/28.7= 0.6686

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12.9 = m * 11.3 + 5 * b
eine interessante Umformung
12.9-5= 7.9/11.3= 0.6991
wo bleibt das b ?
wo das m ?

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Zur Lösung eines linearen Gleichungs-
systems mit 2 Unbekannten bietet sich an

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

4 * x + 7 * y = 12
3 * x + 6 * y = 1

4 * x + 7 * y = 12  | * 3
3 * x + 6 * y = 1  | * 4

12 * x + 21 * y = 36
12 * x + 24 * y = 4 | abziehen
--------------------------
21y - 24y = 32

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12.9 = m * 11.3 + 5 * b
31.09 = m * 28.27 + b * 11.3

12.9 = m * 11.3 + 5 * b | * 28.27
31.09 = m * 28.27 + b * 11.3 | * 11.3

Hier die Lösung mit einem Mathe-
programm

Frag nach bis alles klar ist

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also b hab ich a1/a2 und dann 0.978

aber m ? wie komm ich auf 0.709 ?

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12.9 = m * 11.3 + 5 * b
b := 0.978
b einsetzen
12.9 = m * 11.3 + 5 * 0.978
1 Gleichung mit einer Unbekannten " m ".
Das schaffst du sicher,