sinh und cosh, zeigen dass ein c existiert, sodass f + g = c exp

Question

Aufgabe:

\( \sinh (x)=\frac{1}{2}(\exp (x)-\exp (-x)), \quad \cosh (x)=\frac{1}{2}(\exp (x)+\exp (-x)) \)

(i) Bestimmen Sie \( \sinh ^{\prime} \) und \( \cosh ^{\prime} \) und zeigen \( \operatorname{Sie} \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
Wir erhalten so, dass für \( f:=\sinh \) und \( g:= \) cosh die Funktionen \( f \) und \( g \) die Funktionalgleichungen
\( f(0)+g(0)=1, \quad(f+g)^{\prime}=f+g, \quad g^{2}-f^{2}=1 \)
erfüllen.

Seien nun \( f \) und \( g \) Funktionen, die \( (*) \) erfüllen.

(ii) Zeigen Sie, es existiert ein \( c \in \mathbb{R}, \) sodass \( f+g=c \) exp. Bestimmen Sie insbesondere \( c \).

(iii) Zeigen Sie, dass \( g-f=1 / \) exp.

(iv) Folgern Sie, dass \( f=\sinh , g=\cosh \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe diese Aufgabe leider nicht und weiß nicht was ich in (ii) aufwärts tun muss, damit ich das zeigen kann.

Answer 1

(ii)  Definiere die Funktion \(h\) durch \(h(x)=\big(f(x)+g(x)\big)\exp(-x)\). Differenzieren liefert$$\begin{aligned}\qquad h^\prime(x)&=\big(f(x)+g(x)\big)^\prime\exp(-x)-\big(f(x)+g(x)\big)\exp(-x)\\&=\big(f(x)+g(x)\big)\exp(-x)-\big(f(x)+g(x)\big)\exp(-x)\\&=0.\end{aligned}$$Es existiert also ein \(c\in\mathbb R\) mit \(h(x)=c\) für alle \(x\in\mathbb R\).
Es folgt \(c=\big(f(x)+g(x)\big)\exp(-x)\), d.h. \(f(x)+g(x)=c\exp(x)\).
Insbesondere gilt für \(x=0\): \(f(0)+g(0)=c\exp(0)\), also \(c=1\).

(iii)  \(1=g^2-f^2=(g-f)(g+f)=(g-f)\exp\Longleftrightarrow g-f=\frac{1}{\exp}\).