Lineare Regression - Empirische Messungen. Wie lautet die Steigung der Ausgleichsgeraden?

Question

Ich weiss nicht, wie diese Aufgabe zu lösen ist. Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?

Die Beobachtungen liegen ungefähr auf einer linearen Funktion z= a0 + a1 x und sind mit leichten Fehlern behaftet. Ermitteln Sie die Parameter dieser linearen Funktion durch Verwendung der Normalgleichungen. Wie lautet die Steigung?

Answer 1

Hi!

Gesucht: \(a_0, a_1 \).
$$\begin{pmatrix}1 & 5.5\\ 1 & 7\\ 1 & 9.4\\ 1 & 11.5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_0\\ a_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}22.77\\ 23.76\\ 24.27\\ 25.46 \end{pmatrix} \\A = \begin{pmatrix}1 & 5.5\\ 1 & 7\\ 1 & 9.4\\ 1 & 11.5\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}22.77\\ 23.76\\ 24.27\\ 25.46 \end{pmatrix}\\A^T\cdot A\cdot \begin{pmatrix}a_0\\ a_1\end{pmatrix} = A^T\cdot b \\\begin{pmatrix}4 & 33.4\\ 33.4 & 299.86\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_0\\ a_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}96.26\\ 812.483\end{pmatrix}\\$$ Das führt durch Matrixmultiplikation zum LGS
$$4\cdot a_0 + 33.4\cdot a_1 = 96.26 \\33.4\cdot a_0 + 299.86\cdot a_1 = 812.483 \\$$ Mit den Lösungen \(  a_0 \approx 20,596, \ a_1 \approx 0,415451\)

Kontrolle der Ergebnisse z.B. hier oder hier.

Grüße