Taylor-Polynom und Limes

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung der Funktion \( f(x)=\sin (x) e^{2 x^{2}} \) im Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \)

Zeigen Sie
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\left(\cos \left(\frac{1}{x}\right)-1\right)}{-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{2} \)
und berechnen Sie
$$ \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{-x^{2}\left(\cos \left(\frac{1}{x}\right)-1\right)}}{e^{-x^{2}}} $$
Hinweis: Nutzen Sie den ersten Grenzwert zur Berechnung des zweiten.

Answer 1

\( y= \sin (x) \cdot e^{2 x^{2}}: x_{0}=0 \quad, y(0)=0 \\ y^{\prime}=e^{2 x 2}(4 x \sin (x)+\cos (x)) \quad ; y^{\prime}(0)=1 \\ y^{\prime \prime}=e^{x^{2}}\left(\left(8 x^{2}+3\right)^{\prime} \operatorname{sin}(x)+6 x\right.\cos (x)) \quad | y''(0) = 0 \\ \text { alles: } y=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) \\ \quad+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2}\left(x-x_{0}\right)^{2} \\ \Rightarrow y=0+1 \cdot(x-0)+\frac{0}{2} \cdot(x-0)^{2} \\ y=x \)

Answer 2

a) sin(x)≈x für x nahe 0 und

e^{2x^2}≈1+2x^2

--> sin(x)*e^{2x^2}≈x(1+2x^2)

=x+2x^3≈x + O(x^3)

b) COS(1/x)≈1-1/(2x^2) für x nahe 0,

setze dies im Grenzwertprozess ein

und kürze die x.

Comments

ich verstehe nicht wie du bei der b) vorgegangen bis um  "COS(1/x)≈1-1/(2x²) für x nahe 0" zu bekommen. könntest du das bitte erläutern?

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Die Taylor Entwicklung für COS(x) an x=0

lautet 1-x^2/2 .

Für x gegen ∞ ist 1/x ≈0 , also kann man den Cos(1/x) in eben diese Reihe entwickeln, wobei das Argument anstatt x nun 1/x ist.