hessematrix: definitheit: hurwitzkriterium anwendbar wenn ungerade Hauptminoren positiv sind und Gerade negativ?

Question

ich habe folgende Hessematrix für eine Funktion aus dem R² .

Nach Einsetzen eines stationären Punktes habe ich

Hf =  14/9     10/3

          10/3      2

Hier ist mein erster Hauptminor H₁ ja 14/9>0 , der zweite Hauptminor H₂ =-8<0

Liefert mir das Hurwitzkriterium hier eine Aussage? Es sollten ja immer die ungeraden Hauptminoren <0 sein und die geraden >0, was bei mir ja anders herum ist.

Muss ich hier also über die Eigenwerte gehen um die Definitheit zu überprüfen?

Answer 1

Bei \(2\times2\)-Matrizen \(A={a\ b\choose c\ d}\) ist die Sache sehr einfach und uebersichtlich, siehe hier (\(D\) ist die Determinante und \(Q(x)=x^TAx\) die quadratische Form zu \(A\)):

https://books.google.de/books?id=FFPQBgAAQBAJ&pg=PA124

In Deinem Fall ist also die Hessematrix indefinit, weil ihre Determinante negativ ist. Fertig.

Comments

Wie kommt man darauf, dass A indefinit wenn det(A)<0 ist?

Indefinit heißt ja die quadratische Form Q(x)=ax²+2bxy+cy²  nimmt sowohl positive als auch negative Werte an. Aus D<0 folgt ja nur b²>ac . Wie kann ich diese Information in Q(x) einbringen?

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Das steht doch auf derselben Seite unmittelbar anschliessend an die Uebersicht:

"Das ueberlegt man sich für a ≠ 0 anhand ..."

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Also ein Sattelpunkt liegt immer dann vor wenn die Hessematrix indefinit ist?

Answer 2

Ah. Musste erstmal nachsehen. Das Kriterium wird nun eigentlich Sylvester-Kriterium benannt. Ja. Das macht hier keine Aussage und du musst über die Eigenwerte gehen.

Comments

Ok.

Eine andere Frage noch. Wenn ich Funktion von R^2 nach R habe liegt ja ein Sattelpunkt vor wenn die Hessematrix <0 ist. Hier muss man die Matrix ja nicht auf Definitheit überprüfen.

Wie ist das aber wenn ich von R^3 nach R ab bilde. Welches Kriterium gilt da für einen Sattelpznkt?  Muss die Hessematrix da indefinit sein?

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Was ist das für eine Abbildung. Hängt das nicht von der Abbildung ab.

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Wie gesagt bei einer Funktion von R^2 nach nach R wird laut meinem Skript nur gefordert, dass die Hessematrix für den stationären Punkt <0 ist. Für fxx, also quasi mein erster Hauptminor, wird kein spezieller Wert gefordert. Über die Definitheit kann man ja dann keine Aussage treffen. Durch det Hf <0 weiß ich ja nur das ich nach dem sylvrsterkriterium weder positiv noch negativ definit bin.

Das die Hessematrix indefinit folgt ja auch nicht aus det Hf <0. Im Internet lese ich jedoch des öfteren das die Hessematrix für einen Sattelpunkt indefinit sein muss.

Ist das richtig? Und kann ich Indefinitheit mit dem sylvrsterkriterium nachweisen oder geht das auch nur über eigenwerte?

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Mit dem Sylvester Kriterium hat man nur eine Aussage ob die Matrix positiv oder negativ definit ist. Ansonsten sagt das Kriterium nichts aus.

Indefinit ist die Matrix wenn die Eigenwerte nur positiv und negativ sind.

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Ok. Und nach der Antwort von FakeName liegt ein Sattelpunkt dann vor wenn die Hessematrix indefinit ist?