Hessematrix + Definitheit

Question

Sei die Hessematrix $$H_f =\begin{pmatrix} 6x & -1 \\-1 & 2 \end{pmatrix} $$ und die kritischen Punkte (0,0) und (1/6,1/12)

soweit konnte ich das auch lösen komm auch auf dieselben Werte aber ich komm nicht auf das selbe charakteristische Polynom(Ich hab das anders gelernt) $$A = H_f(0,0) =\begin{pmatrix} 0 & -1 \\-1 & 2 \end{pmatrix}$$

$$B = H_f(\frac{1}{6},\frac{1}{12}) =\begin{pmatrix} 1 & -1 \\-1 & 2 \end{pmatrix}$$

In der Lösung liegt mir vor das $$X_A = det(\begin{pmatrix} x-0 & -1 \\-1 & x-2 \end{pmatrix}) = x²-2x-1$$

$$X_B = det(\begin{pmatrix} x-1 & -1 \\-1 & x-2 \end{pmatrix}) = x²-3x+1$$(Ich hatte das so gelernt, dass man a0,0-Λ etc. ist das egal wie rum man das macht?) und beim nächsten Schritt bin ich halt vollkommen raus

$$x²-2x-1 = (x-(1+\sqrt2))(x-(1-\sqrt2))$$ ich hab nachgerechnet und es stimmt aber wie komm ich darauf? bzw. gibt es es einen Trick bei der Auflösung?

Mfg Sven

Answer 1

ist das egal wie rum man das macht?

Ja, es ist egal ob man 

$$ det(A-\lambda E)\\ $$

oder

$$ det(\lambda E-A) $$

rechnet, die beiden Ausdrücke unterscheiden sich lediglich im Vorzeichen. Die Nullstellen bleiben gleich.

Danach wurden die Nullstellen der Polynome berechnet. Das macht man mit quadratischer Ergänzung oder der pq-Formel.

Dann ist z.B x^2-2x-1 =(x-x_1)(x-x_2), wobei x_1 und x_2 die beiden Nullstellen sind (wenn sie existieren).