Bestimmungspunkte berechnen und Graph zeichnen: y=5/(x+3)^2-1, y=log2(x+2), y=3^{-x}-3

Question

Alle Bestimmungspunkte berechnen und die Grafik zeichnen!

1. y=5/(x+3)^2 -1

2. y=2.log(x+2)

3. y=3^-x -3

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

Ich sollt hier vermutlich eine kurze Kurvendiskussion machen

In der knappen  Kurvendiskussion sind nur die Ergebnisse zusammengefasst. Der y-Achsenabschnitt fehlt hier. Er liegt bei (0, -0.4444)

Hier noch eine Skizze der Funktion

Ich denke so sollte vermutlich dann die Aufgabe aussehen. Probierst du 2. und 3. zunächst alleine und fragst dann hier nach, wenn du etwas nicht verstehst?

Answer 2

Nun, da muss man wohl überlegen, welche Bestimmungspunkte man berechnen soll:

Sinnvoll wären wohl:

Unstetigkeitsstellen, Nullstellen, Extrema und Limites für x -> +/- ∞

 

y = 5 / ( x + 3 ) ² - 1

Unstetigkeitsstellen dort, wo der Nenner des Bruches den Wert Null annimmt, also

x + 3 = 0 <=> x = - 3  

An dieser Stelle gilt:

lim [ x ↑ - 3 ] = lim [ x ↓ - 3 ] = ∞ 

Nullstellen:

5 / ( x + 3 ) ² - 1 = 0

<=> 5 = ( x + 3 ) ²

<=> x = +/- √ ( 5 ) - 3

Der Graph geht also durch die Punkte N1 ( - √ ( 5 ) - 3 | 0 ) und N2 ( √ ( 5 ) - 3 | 0 )

Extrema dort, wo die Ableitung den Wert Null annimmt, also:

f ' ( x ) = - 5 * ( - 2 * ( x + 3 ) ) / ( x + 3 ) ⁴ = 0

<=> - 2 * ( x + 3 ) = 0

<=> x + 3 = 0

<=> x = - 3

Also: Höchstens an der Stelle x = - 3 liegt ein Extremum von f ( x ) vor. Da f ( x ) an dieser Stelle aber nicht definiert ist (siehe Unstetigkeitsstelle) hat sie kein Extremum.

Limites:

lim [ x -> - ∞ ] = 0 - 1 = - 1

lim [ x -> + ∞ ]= 0 - 1 = - 1

Die Grenzwerte von f ( x ) für x -> +/- ∞ sind also jeweils die Werte - 1

Nun wählt man noch ein paar Stellen x aus, an denen man die Funktionswerte von f ( x ) berechnet, dann kann man den Graph skizzieren. Sinnvoll erscheinen hier die beiden Stellen, die etwa in der Mitte zwischen den Nullstellen  und N2 und der Unstetigkeitsstelle x = - 3 liegen und ganzzahlig sind, also z. B. x1 = - 4 und x2 = - 2

f ( - 4 ) = 5 / ( - 4 + 3 ) ² - 1 = 4

f ( - 2 ) = 5 / ( - 2 + 3 ) ² - 1 = 4

Der Graph von f ( x ) verläuft also durch die Punkte ( - 4 | 4 ) und ( - 2 | 4 ).

Nun kann man den Graph skizzieren:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=5%2F%28x%2B3%29%5E2+-1

 

Die anderen Funktionen behandelt man auf ähnliche Weise.