(...) Die Lösung soll -1 sein, jedoch komme ich mit meinen Umformungen nicht drauf.
Wir können zunächst versuchen, die beiden Quotienten zusammenzufassen, um dann zu schauen, ob sich der Linearfaktor \((1-x)\) nicht vielleicht wegkürzen lässt. Das geht hier recht elementar und wir müssen gar nicht viel rechnen. Ein möglicher Weg wäre:
$$ \frac { 1 }{ 1-x } - \frac { 3 }{ 1-x^3 } \\\,\\= \frac { 1 }{ 1-x } - \frac { 3 }{ \left(1-x\right)\cdot\left(1+x+x^2\right) }\\\,\\= \frac { 1+x+x^2-3 }{ \left(1-x\right)\cdot\left(1+x+x^2\right) }\\\,\\= \frac { (x-1)\cdot(2+x) }{ \left(1-x\right)\cdot\left(1+x+x^2\right) }\\\,\\= -1\cdot\frac { 2+x }{ 1+x+x^2 }. $$Jetzt können wir \(x=1\) einsetzen, um den gesuchten Grenzwert zu bestimmen.
