Ableitungen Kettenregel (positive Zahl) f(x) = (4x^2 + 2)^2

Question

habe mir gerade die Ableitungsregeln angeschaut. Habe noch eine Verständnisfrage zur Kettenregel. Das Beispiel dort lautet:

Ableitungsregeln
Kettenregel:
$$ f(x)=g(h(x)) \quad f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x) $$
\( \begin{array}{ll}{\text { Beispiel: }} & {f(x)=\left(4 \cdot x^{2}+2\right)^{2} \quad f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)} \\ {g(x)=(. . .)^{2}} & {\rightarrow g^{\prime}(x)=2 .(\ldots)} \\ {h(x)=4 \cdot x^{2}+2} & {\rightarrow h^{\prime}(x)=4\cdot x^2+2}\end{array} \) 

In dem Beispiel ergibt die Ableitung von h(x) = 2*4+0. Mein Frage richtet sich speziell nach der +2. Weshalb fällt diese weg (welche Regel steckt dahinter) und entfällt eine positive Zahl immer Ableitungen?

Danke und

Answer 1

Die Ableitung konstanter Funktionen ist immer Null.

Answer 2

> speziell nach der +2. Weshalb fällt diese weg (welche Regel steckt dahinter)

Geometrisch: Der Graph der Funktion p(x) = 2 ist eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft. Solche Geraden haben überall die Steigung 0.

Algebraisch: Es ist x⁰ = 1, also ist p(x) = 2 = 2x⁰ . Nach Potenz- und Faktorregel ist deshalb p'(x) = 2·0·x^0-1 = 0.

Außerdem spielt noch die Summenregel mit: f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) + h'(x).

Answer 3

Die Ableitung von
h ( x ) = 4*x^2 +
h ´( x ) = 4 * x^2 + 2

ist in dem angeführten Beispiel falsch.
Es muß heißen
h ´( x ) = 8 * x

Insgesamt
f ( x ) = ( 4 * x^2 + 2 )^2
f ´ ( x ) = 2 * ( 4 * x^2 + 2 ) * 8 * x

Answer 4

f(x) = (4x^2 + 2)^2 

h(x) = 4x^2 + 2   . Gib dem einen speziellen Namen. h(x) = u

Dann ist f(x) = u^2 die äussere Funktion ist g(u) = u^2 

Nun ist h'(x) = 8x = u' und g'(u) = 2u .

Nach Kettenregel 

f ' (x)   

= g '(u)  * u'           | in u geschrieben

= 2u * u' 

= 2(4x^2 + 2) * 8x   | mit x geschrieben

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