Bernoulli Differentialgleichung xy'+2y=-x^3*cos (x)*y^2

Question

xy'+2y=-x^3*cos (x)*y^2

Hallo könnte mir jemand diese Aufgabe lösen?

Habe zwar die Lösung verstehe jedoch nicht wie ich dahin gelange..

Answer 1

$$xy'+2y=-x^3\cdot cos(x)\cdot y^2\quad |:x\\ y'+2\frac{y}{x}=-x^2\cdot cos(x)\cdot y^2\\ [allg. Struktur:\\ y'+g(x)y=h(x)\cdot y^n]\\ ⇒ n =2\\ z=\frac{y}{y^n}=\frac{y}{y^2}=y^{-1}\\ y=z^{\frac{1}{1-n}}=z^{\frac{1}{1-2}}=z^{-1}\\ y'=\frac{1}{1-n}z^{\frac{n}{1-n}}z'\\ y'=\frac{1}{1-2}\cdot z\frac{2}{1-2}\cdot z'\\ y'=-z^{-2}\cdot z'\\ ⇒\text{in die Aufgabe eingsetzt}\\ -z^{-2}\cdot z'+2\frac{z^{-1}}{x}=x^2~cos(x)\cdot z^{-2}\quad |:(z^{-2})\\ ⇒z'-\frac{2}{x}z=x^2\cdot cos(x)\\ ⇒ \text{Variation der Konstanten}$$                                                                                    

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