Grenzwert einer definierten rekursiven Folge berechnen und prüfen, ob sie konvergent ist

Question

ich muss überprüfen, ob  diese rekursiv definierte Folge konvergent oder divergent ist. Im Falle der Konvergenz soll ich den Grenzwert bestimmen.

$${ a }_{ 0 }:=\frac { 1 }{ 4 } ,\quad { a }_{ n+1 }:={ a }_{ n }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 4 } $$

... mit dem Hinweis, dass ich zeigen soll , dass ( a_n ) von oben durch 1/2 beschränkt ist und monoton wächst.

Kann mir das jemand an diesem Beispiel zeigen, wie?

Danke :)

Comments

... mit dem Hinweis, dass ich zeigen soll , dass ( a_n ) von oben durch 1/2 beschränkt ist

Zu rekursiv definierten Folgen passt ganz prima die vollstaendige Induktion. So nach dem Motto

(1) a₀ ≤ 1/2 ✓

(2) a_n ≤ 1/2 ⇒ a_n+1 ≤ 1/2 ✓

Answer 1

Wenn man die Konvergenz ( Monoton steigend und nach oben beschränkt ) gezeigt hat, kann bei

solchen rekursiv definierten Folgen den Grenzwert g häufig so ausrechen:

Da sowohl a_n+1 als auch a_n gegen g gehen gilt

g = g² + 1/4

also 0 = g²   - g  + 1/4

also g = 1/2 .

Zur Beschränktheit gab es ja schon einen Tipp und zur Monotonie

verwende die Rekursion etwa so :

a_n+1 ≥    a_n

<==>  a_n²  + 1/4  ≥    a_n 

<==>  a_n²  -    a_n  + 1/4  ≥  0 

<==>  ( a_n  -1/2  )²   ≥  0    was offenbar immer stimmt.