Varianz von Verteilungen berechnen

Question

Seien (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und Y, Z : Ω → X unabhängig mit

Y ∼ Poi(5) und Z ∼ Geo(1/2). Berechnen Sie:

a) Var(2Y − 3Z)

Answer 1

\(Var(aY+bZ)=a^2\cdot Var(Y) + b^2\cdot Var(Z) + \underbrace{2\cdot a\cdot b\cdot Cov(Y,Z)}_{0\text{ für Y,Z unabhängig}}\)

\(Var(aY+bZ)=a^2\cdot\lambda+b^2\cdot\dfrac{1-p}{p^2}\)

Für das konkrete Beispiel folgt mit \(Var(2Y+(-3)Z)\):

\(Var(2Y+(-3)Z)=2^2\cdot 5+(-3)^2\cdot \dfrac{1-0.5}{0.5^2}=20+9\cdot 2=38\)

André