Varianz bei geometrischer Verteilung: Warum ist der Wert so riesig groß?

Question

Aufgabenstellung:

In einer Kiste liegen 16 Bauteile, genau eins davon ist defekt. Ohne Zurücklegen wird nun jeweils eines genommen und getestet.

Sei X die Zufallsvariable, die die Anzahl der notwendigen Tests angibt, bevor das defekte Teil gefunden wird.

Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X.

Ansatz:

Wenn ich mich nicht irre, ist die Wahrscheinlichkeit, das defekte Teil beim i-ten mal zu ziehen, geometrisch verteilt, d.h.: P(X=i) = \( (1- \frac{1}{16})^{i-1} \) * \( \frac{1}{16} \)

Laut unserer Vorlesungsfolien ist nun der Erwartungswert ganz leicht zu bestimmen als E(X) = \( \frac{1}{\frac{1}{16}} \) = 16, und die Varianz als Var(X) = \( \frac{1 - \frac{1}{16}}{\frac{1}{16}^{2}} \)  = 240.

Mich wundern die hohen Werte. Diese scheinen ja nur Sinn zu machen, sollte es eine deutlich größere Anzahl an zu testenden Teilen geben; andernfalls, warum "erwarte" ich, jedes einzelne der 16 Teile testen zu müssen, wenn das der Worst Case ist, und warum habe ich eine Varianz von 240 Teilen, wenn ich nur insgesamt 16 Teile habe?!

Ich glaube, ich habe irgendwo ein grundlegendes Verständnisproblem, und wäre dankbar wenn mir jemand aufzeigen könnte, wo genau.

Answer 1

Du hast Recht. Mit dem grundlegenden Verständnisproblem. Die geometrische Verteilung könntest du nur dann anwenden, wenn das entnommene Teil jeweils wieder zurückgelegt wird. Dann gäbe es rein theoretisch unendlich viele Ergebnisse, die allerdings immer unwahrscheinlicher werden. Vergleiche es mit "Warten auf eine 6" beim Würfeln. Erwartungswert und Varianz für den Fall einer geometrischen Verteilung hast du richtig berechnet. Und die Ergebnisse machen Sinn: Im Schnitt musst du 16 mal ziehen (wenn du immer wieder zurücklegst). Und als Maß für die "zu erwartenden Abweichungen" musst du noch die Wurzel aus der Varianz berechnen, die Standardabweichung. Für deine Aufgabe musst du allerdings so gut wie keine theoretischen Erkenntnisse benutzen, sondern nur die Definitionen für Zufallsgrößen kennen. Diese hier hat die möglichen Werte 1, 2, 3 ... 16 . Die Wahrscheinlichkeiten kann man sich (sehr!) elementar überlegen, Erwartungswert und Varianz können mit den Definitionen ermittelt werden.

Comments

Ahhhhh, das mit dem Zurücklegen hatte ich nicht berücksichtigt - vielen Dank.

Welche Verteilung lässt sich denn hier passender nutzen? Jede dieser 16 Wahrscheinlichkeiten von Hand zu berechnen um dann den Erwartungswert zu berechnen ist, wie du schreibst, zwar ohne Probleme machbar, jedoch vermutlich nicht der Sinn einer Aufgabe zum Theme Verteilungen.

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Mach dir doch einfach mal die Mühe, wenigstens die Wahrscheinlichkeiten von 1 und 2 zu "berechnen". Dann wirst du sicher feststellen, dass alles ganz einfach ist.

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Also gut:

_{P(X=1) = \( \frac{1}{16} \)}

_{P(X=2) = \( \frac{15}{16} \) * \( \frac{1}{15} \)}

_{P(X=3) = \( \frac{15}{16} \) * \( \frac{14}{15} \) * \( \frac{1}{14} \)}

_{P(X=4) = \( \frac{15}{16} \) * \( \frac{14}{15} \) * \( \frac{13}{14} \) * \( \frac{1}{13} \)}

_usw

_{Richtig? Da immer ein Bauteil entfernt wird, erhöht sich die Chance das richtige zu ziehen mit jedem falsch gezogenen immer weiter, d.h. auch, die einzelnen Ziehungen sind nicht unabhängig.}

_{Der Erwartungswert von X ist dann folglich 1 * \( \frac{1}{16} \) + 2 * \( \frac{1}{16} \) + 3 * \( \frac{1}{16} \)...? ohhh... + 4 * \( \frac{1}{16} \) + 5 * ok, ich glaube es hat gerade Klick gemacht.... = 8,5}

_{Dia Varianz dann entsprechend \( \frac{1}{16} * \sum\limits_{n=1}^{16}{(n - 8,5)^{2}} \) = 21,25}

_{Hm, das macht jetzt wieder weniger Sinn für mich, aber schonmal besser als die 240... ^^}

_{Ich frage mich trotzdem, ob eine der bekannten Verteilungen hier nicht zu passen würde; das ist der Themenblock aktuell, und mich wundert, dass das eine "von Hand" zu berechnende Aufgabe sein soll.}

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Die Wahrscheinlichkeiten sind also alle gleich. Da gibt es doch eine Verteilung namens ... Und die Standardabweichung mit ca. 4,61 macht doch auch Sinn.

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Tut mir Leid, ich komm nicht drauf. Keine der bei uns bisher eingeführten Verteilungen (Binomial, negative Binomial, geometrisch, hypergeometrisch, Poisson, Exponential) scheint zu passen.

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Dann sollt ihr vermutlich mit dieser Aufgabe die Gleichverteilung lernen. Siehe "Diskrete Gleichverteilung" bei Wikipedia, dritter Fall.

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Oh, super! Die war mir bislang gänzlich unbekannt.

Danke für deine Mühen!