Wahrscheinlichtsrechnung mit geometrischer Verteilung und Störungstagen

Question

Aufgabe:

SeienT₁,T₂,...,T₁₀ die Zeiten (in ganzen Tagen), an welchen es bei einem Gerät zu Störungen kommt, undT₀= 0. Wir nehmen an, dass die Intervalle zwischen den Störungen,I_i=T_i−T_i-1,i≥1, unabhängig und geometrisch verteilt sind mit Parameter p∈(0,1), d.h.P(I_i=k) =p(1−p)^k-1,k= 1,2,...,i= 1,2,....1

(a) Berechne die Varianz vonT₁.Hinweis:Um die Varianz zu berechnen, nutze die Formel $$\sum \limits_{i=0}^{\infty} i(i−1)x^{i-2}=2(1−x)^{-3}$$ , x∈(0,1)

(b) Berechne den Erwartungswert vonT_n.

(c) Mit Hilfe dieses Ergebnisses, gib eine Abschätzung fürP[T₁₀>1100], wenn p=0.01.

(d) Berechne die Varianz vonT_n

(e) Mit Hilfe dieses Ergebnisses, gib eine Abschätzung fürP[T₁₀>1100], wennp=0.01

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist bereits bei der Aufgabe a. Wahrscheinlich verstehe ich den Rest selber, wenn ich a verstehe. Mein Ansatz wäre, dass I₁=T₁ ist und T₁ somit auch geometrisch verteilt ist. Dann könnte man für die Berechnung der Varianz einfach die Formel für die Varianz einer geometrischen Vereteilung nehmen. Allerdings habe ich dann nichts mit der gegebenen Formel gemacht.

Mein Ansatz für die Aufgaben mit T_n wäre, das es insgesamt n Störungen geben muss mit Wahrscheinlichkeit p und es kann zwischen den einzelnen Störungen eine beliebige Anzahl Tage ohne Störung geben. Somit wäre $$ P(T_n = k)= \begin{pmatrix} {k-1}\\{n-1} \end{pmatrix}p^n (1-p)^{k-n}$$

Den Binomialkoeffizienten habe ich so drin, da die anderen Tage mit Störungen beliebig auf die k-1 Tage verteilt werden können, der n-te Störungstag ist aber fix, da dieser zuletzt kommen muss.

Bin mir aber dabei nicht sehr sicher.