Geben Sie die Verteilung von Y an

Question

Aufgabe:

Seien X und Y zwei Zufallsvariablen, wobei X : Ω → {−1, 1} und Y : Ω → {−1, 0, 1}. Die
Verteilung des Zufallsvektors (X, Y ) sei gegeben durch
X\
Y −1 0 1
−1 α 1/4 β
1 1/8 1/4 α
für gewisse α, β ∈ [0, 1].
1. Welche Bedingung sollen α und β erfüllen, damit die Tabelle eine Verteilung beschreibt?
2. Geben Sie die Verteilung von Y in Abhängigkeit von α und β an. Berechnen Sie E(Y )
und Var(Y ).
3. Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariable Z := 1{XY =0} an. Berechnen Sie E(Z).
4. Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariable XY an und berechnen Sie Cov(X, Y ).
5. Für welche Werte von α und β sind X und Y unabhängig?

Problem/Ansatz:

1. α = (3- β)/16

ist das richtig?

2. p(Y=-1)= α + 1/8

p (Y=0)= 1/2

p (Y=1)=  α + β

E (Y)= -1 .  (α + 1/8) + 0 . 1/2 + 1 .  (α + β)=  β - 1/8

Var (Y) =

3. ........

Comments

X\
Y −1 0 1
−1 α 1/4 β
1 1/8 1/4 α

Das ist unverständlich.

1{XY =0}

Was bedeutet das?

---

X/Y	- 1	0	1
- 1	α	1/4	β
1	1/8	1/4	α

3. Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariable Z := 1_{{XY =0}} an. Berechnen Sie E(Z).

Answer 1

1. \(\alpha\) und \(\beta\) müssen zusätzlich zu den in der Aufgabenstellung genannten Bedingungen auch noch

        \(2\alpha + \beta + \frac{5}{8} = 1\)

erfüllen.

2. \(\operatorname{Var}(Y) = (-1-\operatorname{E}(Y))^2\cdot (\alpha + 1/8) + (0-\operatorname{E}(Y))^2\cdot 1/2 + (1-\operatorname{E}(Y))^2\cdot (\alpha + \beta)\)

Comments

vielen Dank,,

können sie bitte mir die Fragen 3 bis 5 beantwortet?

Answer 2

3. Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariable Z := 1{XY =0} an. Berechnen Sie E(Z).

z	0	1
P(Z = z)	1/2	1/2

E(Z) = 0.5

4. Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariable XY an und berechnen Sie Cov(X, Y)

xz	-1	0	1
P(XY = xy)	β + 1/8	1/2	2α

COV(X, Y) = E(XY) - E(X)·E(Y) = -1·(β + 1/8) + 0·1/2 + 1·(2·α) - (- 1·(α + 1/4 + β) + 1·(1/8 + 1/4 + α))·(- 1·(1/8 + α) + 0·(1/4 + 1/4) + 1·(α + β)) = (128·α + 64·β^2 - 80·β - 7)/64

5. Für welche Werte von α und β sind X und Y unabhängig?

α = β = 1/8 kann man direkt an der Verteilung von X und Y ablesen.