Betragsungleichung lösen ||x+1|-1|<=2

Question

ich soll die folgende Betragsungleichung lösen:

||x+1|-1|<=2

1.Fall x=0

||0+1|-1| =|1-1|=0 <=2

2.Fall x>0

x+1-1=x<=2

3.Fall x<0

Und hier komm ich nicht weiter...

Comments

Probiert mal hiermit:

3. Fall:

x ∈ (-1,-0)

4 .Fall :

x ∈ (-∞,-1]

---

1. Frage

Kann ich Fall 1 und Fall 2 zusammennehmen?

2.Frage Passt das so?

x∈(-1,0)

|-x-1-1| =|-x-2| <=2

-x<=4

x>=-4

3.Frage wie mach ich hier weiter?

||x+1|-1|<=2

Answer 1

Hallo like,

||x+1|-1|<=2 

wegen   |A|  ≤  p   ⇔   - p  ≤  A  ≤  p    für jede positive Zahl p

kannst du den äußeren Betrag direkt loswerden.

- 2  ≤  |x+1|-1  ≤  2

Jetzt hast du nur noch 2 Fälle:

1. Fall:  x ≥ -1

-2  ≤  x+1 -1 ≤ 2

 -2  ≤  x  ≤  2

L₁ = [ -1 ; 2 ]

2. Fall:  x < -1

-2  ≤  - x -1 -1  ≤  2

-2  ≤  - x - 2  ≤  2   | + 2

0 ≤  - x  ≤  4       | * (-1)

0 ≥  x  ≥ - 4

L₂ = [ - 4 ; 0 ]

L = L₁ ∪ L₂  = [ -4 ; 2 ]

Gruß Wolfgang

Answer 2

||x+1|-1|<=2

1.Fall x≤-1    |-x-1-1|<=2

                    |-x-2|<=2

                 1. Unterfall  x ≥ -2

                                x+2<=2

                                    x<=0

                                 also L1 =   [ -2  ; -1 ]

                2. Unterfall  x < -2

                                -x-2<=2

                                    -x<=4  

                                      x≥ -4

                                 also L1 =   [-4 ; -2 [

2.Fall x>-1    |x+1-1|<=2

                          |x|<=2  Das würde für alle x zwischen -2 und 2 gelten,

wegen Fall 2 aber nur L3= ] -1 ; 2 ]

Endergebnis:  L =   [-4 ; -2 [  ∪    [ -2  ; -1 ]  ∪   ] -1 ; 2 ]

                          =   [ -4  ; 2 ]

siehe auch

~plot~ abs(abs (x+1)-1) ~plot~