Lösungen von x²=1: x=1 oder x=-1

Question

es geht um eine simple Aufgabe :)

x²=1 hat die Lösungen x=1 oder x=-1, weil

1²=1 und (-1)²=1

Das ist mir natürlich klar.

Wenn ich aber die Gleichung x²=1 betrachte und beide Seiten der Gleichung ^0.5 nehme

(x²)^0.5=1^0.5  ergibt sich ja x^2*0.5 =1   also x=1

Die zweite Lösung x=-1 geht mir ja durch diese Umformung verloren.

Das ^0.5 entspricht ja dem Wurzelziehen, woraus sich ja dann die zwei Lösungen ergeben. Aber wenn ich das Wurzelziehen als ^0.5 auf die Gleichung "wirken" lasse, ergibt sich doch nur die eine positive Lösung x=1.

Woran liegt das? Ist das ^0.5 keine Äquivalenzumformung?

Answer 1

Hallo Simon,

> Wenn ich aber die Gleichung x²=1 betrachte und beide Seiten der Gleichung ^0.5 nehme

(x²)^0.5=1^0.5  ergibt sich ja x^2*0.5 =1   also x=1

(x²)^0,5  =_Definition  √(x²)  =  |x|    →  x = ± 1

Die Anwendung das Potenzgesetzes für (a²)^1/2 ist nicht zulässig, wenn das Vorzeichen von a nicht sicher nichtnegativ ist.

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für die Erklärung! :)

Answer 2

$$ \left( x^2\right)^\frac12 = \left( x^2\right)^{0,5} =\sqrt{x^2}$$

unterscheiden sich lediglich in der Schreibweise.

Grundsätzlich gilt beim "Wurzeln" von Gleichungen größte Aufmerksamkeit walten zu lassen, weil mehrere Lösungen entstehen. Kommazahlen oder Brüche im Exponent bedeuten immer eine Wurzelfunktion und sind daher mit entsprechender Vorsicht zu behandeln.

Solltest Du irgendwann später Kontakt komplexen Zahlen bekommen (müssen), wirst Du das vielleicht besser verstehen, weshalb das Gewurzels zu Mehrfachlösungen führt.

Comments

Ja, ich weiß schon wie man mit solchen Wurzelausdrücken bzw. Potenzen umzugehen hat. Hab ja auch schon zwei Semester Ingenieurmathematik hinter mir.

Ich wollte nur mal wissen, worauf es hinaus läuft, wenn ich das ^0.5 nicht als Wurzel interpretiere. Aber ist natürlich Blödsinn ;) Hat ja Wolfgang oben geschrieben, dass die Umformung nicht zulässig ist.