Gleichung lösen √{ x² + 49} * √{x² + 100} = 2601?

Question

Aufgabe:

\( \sqrt{x²+49} \) + \( \sqrt{x²+100} \) - 51 = 0

Problem/Ansatz:

x² + 49 + x² + 100 = 2601 (quadriert)

sind das dann

\( (\sqrt{x² + 49}) \) * \( (\sqrt{x² + 100}) \) = 2601 ? Hier die binomische Formel angewandt

das dann ausmultiplizieren und die pq-formel anwenden?

Comments

x² + 49 + x² + 100 = 2601 (quadriert)

Es gibt kein Rechengesetz, nach dem du

        \(\left(\sqrt{x^2 + 49} + \sqrt{x^2 + 100}\right)^2 = 2601\)

zu

        \(\left(\sqrt{x^2 + 49}\right)^2 + \left(\sqrt{x^2 + 100}\right)^2 = 2601\)

umformen darfst. Verwende binomische Formeln.

Answer 1

Hallo,

einfacher ist es vielleicht, wenn nicht beide Wurzeln auf einer Seite der Gleichung stehen, wenn quadriert wird.

\(\sqrt{x^{2}+49}+\sqrt{x^{2}+100}-51=0\)

\(\sqrt{x^{2}+49}=51-\sqrt{x^{2}+100}\)

quadrieren:

\( x^{2}+49=2601-102 \sqrt{x^{2}+100}+x^{2}+100\quad |-x^2 \)

\( 49=2601-102 \sqrt{x^{2}+100}+100 \)

zusammenfassen:

\(-2652=-102 \sqrt{x^{2}+100}\quad |:(-102)\\ 26= \sqrt{x^{2}+100}\)

wieder quadrieren

\(676=x^2+100\\ 576=x^2\\ \pm24=x \)

Gruß, Silvia

Comments

Liebe Silvia, woher kommen die 102? wieso wird die 51 nochmal mal 2 genommen?

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2. Binomische Formel:

\((a-b)^2=a^2-\red2ab+b^2\)

jetzt klar?

Answer 2

Mal ganz anders - gut geraten:

Wenn man dem Aufgabensteller einen freundlichen Charakter zubilligt,

dann könnte man versuchsweise annehmen, dass sowohl x als auch die

Wurzeln ganzzahlig sind.

Dann muss man also eine ganze Zahl x finden, so dass

\(x^2+7^2\) und \(x^2+10^2\) Quadratzahlen sind.

Da denkt man dann an pythagoreische Tripel:

Wenn man eine kleine Liste von diesen hat, findet man:

\(7^2+24^2=25^2\) und \(10^2+24^2=26^2\) und

hier ist dann auch \(25+26=51\), also

sind \(x=\pm24\) Lösungen.

Answer 3

$$\sqrt{x^2+49}+\sqrt{x^2+100}-51= 0\\ \Leftrightarrow \sqrt{x^2+49}=51-\sqrt{x^2+100} \\ \Rightarrow \cancel{x^2}+49=51^2-2\cdot 51\sqrt{x^2+100}+\cancel{x^2}+100 \\ \Leftrightarrow -2652=-2\cdot 51\sqrt{x^2+100} \\ \Leftrightarrow 26=\sqrt{x^2+100}$$

Answer 4

Hallo,

√(x^2 + 49) + √(x^2 + 100) = 51 | - √(x^2 + 49)

√(x^2 + 100) = 51 - √(x^2 + 49)  |(..)^2

x^2 + 100 = (51 - √(x^2 + 49))^2

x^2 + 100 = 2601 - 2*51 √(x^2 + 49) +x^2 +49

x^2 + 100 = 2650 - 102 √(x^2 + 49) +x^2  |-x^2

 100 = 2650 - 102 √(x^2 + 49)  |-2650

-2550 = - 102 √(x^2 + 49)

25= √(x^2 + 49) (..)^2

625= x^2 +49 |-49

576= x^2

x_1.2= ± 24

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösungen.

Answer 5

√(x^2 + 49) + √(x^2 + 100) - 51 = 0

√(x^2 + 49) + √(x^2 + 100) = 51

(x^2 + 49) + 2·√(x^2 + 49)·√(x^2 + 100) + (x^2 + 100) = 51^2

2·x^2 + 149 + 2·√((x^2 + 49)·(x^2 + 100)) = 2601

2·√((x^2 + 49)·(x^2 + 100)) = 2452 - 2·x^2

√((x^2 + 49)·(x^2 + 100)) = 1226 - x^2

(x^2 + 49)·(x^2 + 100) = x^4 - 2452·x^2 + 1503076

x^4 + 149·x^2 + 4900 = x^4 - 2452·x^2 + 1503076

2601·x^2 = 1498176 → x = ± 24

Eine Probe bestätigt beide Lösungen.