Wendestelle von f(x)=x^5 bestimmen

Question

mein Rechenweg sieht bis jetzt so aus:

f(x)=x^5

f'(x) = 5x^4

f''(x) = 20x^3

f'''(x) = 60x^2

Jetzt müsste ich ja f''(x)=0 setzen. Wie mache ich das mit x^3 ?

Answer 1

20x^3=0 |:20

x^3=0

x= 0

Answer 2

20x^3 = 0 |:20
x^3 = 0 -> x = 0, denn die dritte Wurzel aus 0 ist 0.

Beste Grüße
gorgar

Comments

Danke. Wenn ich 0 in die dritte Wurzel einsetze, dann bekomme ich Null raus - also kein Wendepunkt. Die Lösung behauptet da aber was anderes: " f''(x) = 0 liefert x= 0; f''' hat an der Stelle x=0 einen Vorzeichenwechsel von - nach +. Somit hat f an der Stelle x=0 eine Wendestelle." Wie muss ich das verstehen?

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Das von dir zitierte kriterium, dass die dritte Ableitung ungleich null sein muss, ist die hinreichende Bedingung. Sie funktioniert nur im positiven fall, d.h. wenn die dritte Ableitung an der möglichen wendestelle ungleich null ist, dann weißt du dass eine wendestelle vorliegt. Ist die dritte Ableitung aber null an der fraglichen Stelle, dann heißt das nicht dass dort keine wendestelle ist, sondern nur, dass du das mit der dritten Ableitung nicht herausfinden kannst. Du musst als nächstes untersuchen, ob ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vorliegt. Das nennt man das Vorzeichenwechsel-kriterium.

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Wie muss ich das verstehen?

Koffi hat das ja schon zusammengefasst.

f'''(0) = 0 bedeutet noch nicht, dass an der Stelle 0 kein Wendepunkt ist.
Im Falle f'''(0) = 0 muss man sich das Krümmungsverhalten der Funktion angucken.

Für x < 0 ist f''(x) < 0 (nach rechts gekrümmt) und für x > 0 ist f''(x) > 0
(nach links gekrümmt)

An der Stelle x=0 ist also ein Wendepunkt.

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Wenn ich 0 in die dritte Wurzel einsetze, dann bekomme ich Null raus - also kein Wendepunkt.

Dieser Schluss ist falsch!

Die Lösung behauptet da aber was anderes: f''(x) = 0 liefert x= 0; f''' hat an der Stelle x=0 einen Vorzeichenwechsel von - nach +. Somit hat f an der Stelle x=0 eine Wendestelle.

Es muss statt f''' (dritte Ableitung) richtig f'' (zweite Ableitung) heißen.

Answer 3

f(x)=x²ⁿ⁺¹ hat für alle n∈ℕ die Wendestelle x=0.