Bruchterme vereinfachen bzw. Potenzgesetze anwenden

Question

$$ \frac{ (2b)^{-1} - 2^{-1}b}{b^{-1} + 1^{-1}}$$

Lösung:

\( \frac{1-b}{2} \)

Ich glaube was im Zähler steht, "fällt" alles nach unten, bis auf b. und der Nenner ändert sich nicht oder?

Schritt für Schritt Lösung bitte.

Answer 1

Wir multiplizieren den Nenner und den Zähler mit 2b: $$\frac{(2b)^{-1}-2^{-1}b}{b^{-1}+1^{-1}}=\frac{\left((2b)^{-1}-2^{-1}b\right)\cdot 2b}{\left(b^{-1}+1^{-1}\right)\cdot 2b}=\frac{1-b^2}{2+2b}$$ Wir wenden die binomische Formel an: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ und klammern im Nenner die 2 aus und so bekommen wir $$\frac{1-b^2}{2+2b}=\frac{(1-b)(1+b)}{2(1+b)}=\frac{1-b}{2}$$ 

Answer 2

es ist \(1^{-1}=1\). Wir formen Zähler und Nenner nacheinander um.

Zähler: \((2b)^{-1}-2^{-1}b=\frac{1}{2b}-\frac{b}{2}=\frac{2}{2b}-\frac{2b^2}{4b}=\frac{2-2b^2}{4b}=\frac{1-b^2}{2b}=\frac{(1+b)(1-b)}{2b}\)

Nenner: \(b^{-1}+1=\frac{1}{b}+1=\frac{1}{b}+\frac{b}{b}=\frac{1+b}{b}\)

Zähler durch Nenner: \(\frac{\frac{(1+b)(1-b)}{2b}}{\frac{1+b}{b}}=\frac{(1+b)(1-b)}{2(1+b)}=\frac{1-b}{2}\)

André

Answer 3

(1/(2b)-b/2)/(1/b+1) erweitern mit 2b. (1-b²)/(2+2b) Faktorenzerlegung ((1-b)(1+b))/(2(1+b)) kürzen (1-b)/2.

Answer 4

$$\frac{(2b)^{-1}-2^{-1}b}{b^{-1}-1^{-1}}\\=\frac{\frac{1}{2b}-\frac{b}{2}}{\frac{1}{b}+1}\\ [\frac{1}{b}+1=Hauptnenner]\\ =\frac{\frac{1-b^2}{2b}}{\frac{1+b}{b}}\\=\frac{(1-b^2)\cdot \not{b}}{2\not{b}(1+b)}\\ =\frac{1-b^2}{2(1-b)}\\ =\frac{-(b-1){(b+1)}}{2(1+b)}\\=\frac{-(b-1)}{2}=\frac{-b}{2}+\frac{1}{2}$$