Exponentialfunktionen. Algenbestand für t ≥ 0 gegeben durch die Funktion f(t) = 5t * e ^{-t} + 2

Question

Ich habe eine Aufgabe zu Exponentialfunktionen und brauche eine Antwort.

Die Algen-Population

im abgeschlossenen Gewässer ,,Expo-See'' ist eine bestimmte Algenart beheimatet. Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Algenbestand auf seinem normalen Niveau. Durch hohe Temperaturen kommt die Entwicklung des Algenbestandes jedoch in Bewegung. Der Algenbestand kann für t ist größer gleich 0 durch die Funktion

f(t) = 5t mal e hoch - t + 2        (Edit: statt 5t mal e hoch -1 + 2)

beschrieben werden. 

t: Zeit in Monaten

f(t): Algenbestand in Tausend

a) Erläutern Sie die Bedeutung der ersten Ableitung f ' (t) im Sachzusammenhang

b) berechnen Sie unter Angabe der ersten Ableitung zu welchem Zeitpunkt der Algenbestand maximal ist und welche Größe der bestand zu diesem Zeitpunkt aufweist. Sie dürfen auch die zweite Ableitung f ''(t) = -10e hoch -t +5t mal e hoch -t verwenden.

Comments

EDIT: Habe ich dein  f(t) = 5t mal e hoch -1 + 2 in der Überschrift richtig interpretiert? Gibt es im Exponenten kein t? Wenn nicht, ist es gar keine Exponentialfunktion. 

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Stelle einmal ein Foto der Aufgabe ein.
Die Funktion stimmt so nicht.

Answer 1

Hallo FF,

wenn man von deinem angegebenen  f " ausgeht, meinst du wohl  f(x)  =  5t * e^-t + 2

a)  f '(t)  ist die momentane Änderungsrate des Bestandes zur Zeit t. 

     Beim Maximum muss diese das Vorzeichen von + → -  wechseln.

b)

f(x)  =  5t * e^-t + 2 

f '(x) = 5·e^{-t}·(1 - t) = 0   →  t = 1  (mit Vorzeichenwechsel von + → - )   

Oder mit f " :

f "(x)  =  5·e^{-t}·(t - 2)

f(1) =  5/e + 2  und    f "(1) = -5/e < 0   →   Hochpunkt ( 1 | 2/e + 2 ) ≈ ( 1 | 3,84 )

Also maximal 3840 Einheiten Algenbestand nach einem Monat. 

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort :)) ich habe nur noch zwei Fragen.

Wie haben Sie f '(x) dann nach t aufgelöst?

Und woher wissen Sie, dass sie den y-Wert an der Stelle x=1 mit tausend multiplizieren müssen?

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5·e^-t  • (1 - t) = 0  

Das ist ein Nullprodukt  A • B = 0

Und das ist genau dann = 0, wenn mindestens einer der Faktoren = 0 ist.

5·e^-t ist immer positiv. Bleibt  1- t = 0  ⇔  t = 1

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> Und woher wissen Sie, dass sie den y-Wert an der Stelle x=1 mit tausend multiplizieren müssen?

Im Text:  f(t): Algenbestand in Tausend

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Nochmals danke. Noch eine Frage, wie haben Sie die Gleichung der ersten Ableitung aufgestellt? Ich hatte versucht die Produktregel anzuwenden., aber ich kam nicht weiter...

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 Produktregel   und  [ e^u ] = e^u * u' (Kettenregel)

[ 5t * e^-t + 2 ] '  =  5 * e^-t + 5t * e^-t * (-1)  +  0

                         =  5 * e^-t * ( 1 - t )