Für welche t hat das LGS A_(t)*v = b eine oder keine Lösung

Question

irgendwie komm ich nicht ganz klar.

Hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.

Hab für v2= (-4t+1)/(-2t+1) raus

v1= -1/ (2t^2-t) raus.

aber wie gehe ich jetzt mit genau eine Lösung und keine Lösung um?

Answer 1

"aber wie gehe ich jetzt mit genau eine Lösung und keine Lösung um?"

Nun schaust du mal für welche t der Nenner 0 wäre. Das ist bestimmt verboten. Setze diese Werte (t=0 und t=1/2 und vielleicht noch mehr direkt (einzeln) in die gegebenen Gleichungen ein und schaue, ob du vielleicht doch Lösungen findest.

Vielleicht hast aber auch noch sonst eine Umformung gemacht, die etwas an der Lösungsmenge geändert hat.

Was du ausgerechnet hast, ist dann übrigens (falls du richtig gerechnet hast) "genau eine Lösung" (den Vektor (v1, v2) . Du musst hier nur noch den Bereich der t einschränken.

Answer 2

Hallo Sonnenblume,

aus der Ausgangsmatrix  des LGS  (erweiterte Koeffizientenmatrix)

⎡     t    1  | 2   ⎤

⎣   2t^2,  1  | 1  ⎦

erhält man

⎡    t          1    |   2 ⎤

⎣ 2·t² - t    0    |  -1 ⎦     Z2 - Z1

Das ergibt  für   2·t² - t  ≠ 0   ( t ∉ {0 , 1/2} )   deine eindeutige Lösung, weil du aus der 2. Zeile v₁  und nach Einsetzen in die 1.Zeile v₂ jeweils eindeutig ausrechnen kannst.

                  für    2·t² - t = 0   keine Lösung

                               ( 0 * v₁  + 0 * v₂ = - 1   geht nicht)

( Für unendlich viele Lösungen müsste rechts unten 0 statt -1 stehen. ) 

Gruß Wolfgang

Answer 3

Alle Umformungen sind möglich und richtig für t≠0 und  t≠  1/2

Für diese Fälle gibt es also genau eine Lösung.

Für t=0 gibt es keine. Denn da heißen die Gleichungen ja

y=1 und

y=2   was sich widerspricht.

Für t=1/2 entsprechend

1/2 * x + y = 1  und

1/2 * x + y = 2   was sich auch widerspricht.

Für diese beiden Werte von t also keine Lösung.