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ich habe folgende Aufgabe gegebene:

Ist die Ausssage wahr oder falsch? 

Seien s,t ∈ℕ. Es gilt ggT(2^s , 2^t) = 2^{min{s,t}}


Durch einfaches Nachprüfen fällt ja auf, dass die Aussage falsch ist.


Zum Beispiel ggT(2^8 , 2^2) = 2^6 

Daher würde ich sagen, dass die Aussage stimmen würde wenn da stehen würde

ggT( 2^s, 2^t) =2^{s-t} , s>t 

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Wie kommst du auf ggT(28 , 22) = 26  ?

Es gilt ggT(28 , 22) = 2^2. 

Ein Teiler kann nicht grösser als die vorhandene Zahl sein.  

Zum Beispiel ggT(28 , 22) = 26 


Verwechselst du da vielleicht   ggT(a,b)  mit   a/b   ?

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo sonneblume123, 

diese Aussage stimmt leider auch nicht. Seien \(s=3\) und \(t=2\). Es ist \(s>t\). Dann gilt:

\(ggT(2^3,2^2)=ggT(8,4)=4\neq 2^1 = 2^{3-2}\)

André

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Diese Antwort ist leider falsch, weshalb ich hierauf nochmal antworte. ggT(2s, 2t) = 2min{s,t} ist eine wahre Aussage. Es gilt ggT(23, 22) = ggT(8, 4) = 4 = 22 = 2min{3, 2}. In Ihrer Antwort haben Sie anstatt des Minimums aus der Menge mit den Elementen 3 und 2 die Differenz aus 3 und 2 berechnet, was so aber nicht der Aussage entspricht, denn min{3, 2} = 2.

Regex, die Antwort ist eigentlich gar keine Atwort, sondern greift nur den auch schon in den anderen Kommentaren behandelten Irrtum des Fragestellers auf.

@Regex: Fragen sollten ganz und nicht nur halb gelesen werden.

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Seien s,t ∈ℕ. Es gilt ggT(2s , 2t) = 2min{s,t}

Die Aussage ist wahr.

Beweis: Seien s,t ∈ℕ. 

Für s=t ist ggT(2s , 2t) =ggT(2s , 2s) = 2s = 2min{s,t} 

weil min(s,s) = s.

Für s≠t ist einer von beiden der kleinere oBdA ist das s.

Also min(s,t) = s.

und  2s ist Teiler von 2s (klar) und von 2t, da s<t also

enthält  2 mindestens so viele Primfaktoren 2 wie  2s .

Und es ist  2s ggT(2s , 2t), weil  2s keinen größeren Teiler als 2s 

besitzt.

Avatar von 289 k 🚀

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