Hallo Denker2.0,
Reihe in Potenzform durch Substitution bringen
\( \sum_{k=2}^{\infty} \left(\frac{1}{16} \right)^k \cdot(1-2x)^{2k} = \sum_{k=2}^{\infty} \left(\frac{1}{16} \right)^k \cdot z^k \) mit \( z=(1-2x)^2 \)
Konvergenzradius
\( R = \frac{1}{\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{\left(\frac{1}{16} \right)^k}} = \frac{1}{\lim_{k \to \infty}\frac{1}{16} } = \frac{1}{\frac{1}{16} } = 16 \)
Die Reihe konvergiert für alle \( |z| < 16 \).
Uns interessiert aber, für welche x die Reihe konvergiert. Das bekommen wir durch Rücksubstitution heraus: \( |(1-2x)^2| < 16 \).
Wenn wir das nach \( x \) auflösen, bekommen wir \( x>-1.5 \) und \( x<2.5 \), d.h. die Reihe konvergiert für alle \( x \in (-1.5, ~ 2.5) \).
Beste Grüße
gorgar