Eine schiefe Asymptote ist eine schiefe Gerade, der sich eine Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert.
Eine gebrochenrationale Funktion $$\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots b_1x+b_0}$$ besitzt eine schiefe Asymptote, wenn Zählergrad = Nennergrad + 1, also wenn $n=m+1$.
Um die schiefe Asymptote zu berechnen, machen wir folgendes:
- Zählergrad und Nennergrad bestimmen
(= Voraussetzung für schiefe Asymptote überprüfen)
- Polynomdivision: Die Gleichung der schiefen Asymptote erhalten wir, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen.
- Grenzwertbetrachtung
Wir haben die Funktion $$f(x)=\frac{x^3-x^2-2x}{x^2-3x-4}$$
Da der Zählergrad (3) um eine Einheit größer ist als der Nennergrad (2), besitzt die Funktion eine schiefe Asymptote.
Die Gleichung der schiefen Asymptote erhalten wir, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen.
$$x^3-x^2-2x = \left( x^2-3x-4 \right) \cdot \left( x+2 \right) +\left(8x+8\right)$$ Wir haben also dass $$\frac{x^3-x^2-2x}{x^2-3x-4}=\left(x+2\right)+\frac{8x+8}{x^2-3x-4}=\left(x+2\right)+\frac{8(x+1)}{(x+1)(x-4)}=\left(x+2\right)+\frac{8}{x-4}$$ Da der Nennergrad des Bruchs (ganz rechts in der Gleichung) größer ist als der Zählergrad, wird dieser Restterm für sehr große x-Werte immer kleiner und nähert sich Null an: $$\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{8}{x-4}\right)=0$$ Der Graph der Funktion strebt deshalb gegen die schiefe Asymptote mit der Gleichung y = x + 2.
