Funktionsschar. Bsp. 1) Zeigen Sie: Es gilt b(c) = f1(c) -c*f'(c). Wie geht man vor?

Question

Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?

Es sei Pc(c|f(x)) ein Punkt auf dem Graphen der Funktion f1, wobei c>0 gilt.
Dann sei b(c) der y-Achsenabschnitt der Tangente gc im Punkt Pc, an den Graphen der Funktion f1 in Abhängigkeit von c.


(1) Zeigen Sie: Es gilt b(c) = f1(c) -c*f'(c).

(2) Begründen Sie nun: Es gilt b(c) = (c^2+c+1)*(e^-c)

(3) Ermitteln Sie die Koordinaten aller Punkte Pc auf dem Graphen der Funktion f1, so dass der y-Achsenabschnitt b(c) der Tangente gc im Punkt Pc an den Graphen der Funktion f1 maximal wird.

fa(x) = (x+a)*(e^-ax)
f'a(x) = (1-a2-x)*(e^-ax)
fa''(x) = (-2a+a^3+a2x)*(e^-ax)

Muss man bei 2) nur einsetzen? und bei 1) y= mx+b verwenden, um die Tangentengleichung rauszukriegen..

Und wie geht man bei 3) vor?

Answer 1

(3) Ermitteln Sie die Koordinaten aller Punkte Pc auf dem Graphen der Funktion f1, so dass der y-Achsenabschnitt b(c) der Tangente gc im Punkt Pc an den Graphen der Funktion f1 maximal wird.

fa(x) = (x+a)*(e^-ax)
f'a(x) = (1-a²-ax)*(e^-ax)   korrigiert !
fa''(x) = a*(-2+a²+ax)*(e^-ax)      s.o.

also bei f1:

f1(x) = (x+1)*(e^-x)
f'1(x) = (-x)*(e^-x)   
f1''(x) = (-1+x)*(e^-x)

Tangente in (c ; f1(c) ) =  ( c ; (c+1)* e^-c    )   hat Steigung 0 = f1 ' (c) = -c*e^-c

also   y =   -c*e^-c      * x   +  b

Pc  einsetzen gibt      (c+1)* e^-c  =    -c*e^-c  *c   +  b  

                      ==>    (c+1)* e^-c  +   c²*e^-c     =   b  

                    ==>      e^-c  * (1+c+   c²)        =   b  

Das ist der y-Achsenabschnitt der Tangente. Maximal ist der für

          b ' (c) = 0    <==>  (    c²     +c  + 1) *      e^-c   = 0 

              <==>  (c-c²)  *      e^-c = 0 

    <=>   c=0    v   c=1  

Ob Max oder Min geht mit der 2. Ableitung   b ' ' (c) =  (    c²    -3c  + 1) *      e^-c 

also b ' ' (0) = 1 > 0 , hier also Min.

b ' ' (1) = -   e^-1 < 0    Das ist das gesuchte Max.

Comments

Pc  einsetzen gibt      (c+1)* e^-c  =    -c*e^-c  *c   +  b

                      ==>    (c+1)* e^-c  +   c²*e^-c     =   b

                    ==>      e^-c  * (1+c+   c²)        =   b

Ist das nicht schon Aufgabe 2, oder was ist der Unterschied?

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Genau, die Teilaufgaben bauen aufeinander auf.

Answer 2

zu (1): Umstellen ergibt

$$ f_1'(c) = \frac { f_1(c)-b(c) }{ c-0 }. $$

(2) geht mit (1), allerdings stimmt deine erste Ableitung nicht.

Comments

Besteht die Aufgabe 1 wirklich nur aus Steigung m Gleichung bestimmen?

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Und es wäre sehr nett von dir, wenn du auf 3 auch eingehen würdest :)

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an mathef : Muss der Teil mit Pc einsetzen sein und

muss man nicht noch b(1) rechnen, ansonsten hast du die Aufgabe 3 sehr gut dargestellt.

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Nein, ich wollte durch die Umstellung nur deutlich machen, dass die Beziehung in (1) gilt, weil dies genau der Definition der Ableitung der Funktion f_1 an der Stelle c als Steigung ihrer Tangente dort entspricht. Die Tangentensteigung selbst wird hier nicht als Grenzwert von Sekantensteigungen bestimmt, sondern als Differenzenquotient der Koordinaten des Berührpunktes und des Schnittpunkts der Tangente mit der y-Achse.

Damit ist die Ableitung der Funktion f_1 an der Stelle c bekannt, es muss also gar nicht erst die Ableitungsfunktion bestimmt werden, um bei (2) weiterzumachen.

Waren die beiden Ableitungsfunktionen Teil der Angaben, oder hast du sie selbst gebildet?

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Muss der Teil mit Pc einsetzen sein

Ja, das gibt ja erst   b(c) = (c²+c+1)*(e^-c)

und muss man nicht noch b(1) rechnen,

Das würde den größten Achsenabschnitt ergeben.

Eigentlich ist aber nur gefragt, für welches c der

maximal ist. Aber das Berechnen kann

auch nicht schaden.

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Und wie löst man die erste Aufgabe genau? :D

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"Und wie löst man die erste Aufgabe genau? :D"

Na, ich habe sie doch eigentlich schon gelöst, oder? Versuch doch mal, (1) zu verstehen, bevor du dich mit (3) beschäftigst!

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bei Aufgabe 3 hatte ich in der uralten Klausur 3 von 4 Punkte...

Hatte ja eigentlich da fast alles richtig, bloß  ich habe bei meiner Klausur nur b'(x)= 0 und die Extrempunkte 0 und 1 rausgekriegt

Er hat das dargestellt, was mich damals um einen Punkt gebracht hat, nämlich Pc richtig einzusetzen..

Muss man nicht die Formel y=mx+b auch verwenden, um das herzuleiten?

Weiß aber nicht, wie man im Zusammenhang mit deinem Lösungsvorschlag, der sicher richtig ist da vorgeht.

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Hatte ja eigentlich da fast alles richtig, bloß  ich habe bei meiner Klausur nur b'(x)= 0 und die Extrempunkte 0 und 1 rausgekriegt

Das stimmt eben nicht ganz: Das heißt nur:

Bei 0 und 1 KÖNNEN Extremstellen sein; denn b ' (x)=0  ist nur

eine notwendige Bedingung. Wenn außerdem b ' ' (x) ungleich 0 ist,

dann ist da tatsächlich eine Extremstelle, und im Fall b ' ' (x)  < 0

auch ein Maximum.  Das war wohl mit "Einsetzen" gemeint: In die

2. Ableitung einsetzen.

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Das habe ich mit einsetzen gemeint : Pc  einsetzen gibt      (c+1)* e^-c  =    -c*e^-c  *c   +  b  

                      ==>    (c+1)* e^-c  +   c²*e^-c     =   b

                    ==>      e^-c  * (1+c+   c²)        =   b

Aber kannst du vielleicht gucken, ob er 1 richtig gemacht hat bzw. ob es da was zu ergänzen gibt..

Wir hatten vor 2 Jahren(sind nicht fertig geworden) den Ansatz: y = mx+b

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Zeigen Sie: Es gilt b(c) = f1(c) -c*f'(c).

Mit dem Ansatz  y = mx+b und der Erkenntnis 

P_c=(c ; f₁(c) )   und m= f₁'(c)  hast du 

f₁(c) )   =   f₁'(c)  * c + b   bzw. .

weil das b von c abhängt

f₁(c) )   =   f₁'(c)  * c + b(c)

Auflösen gibt b(c) = f1(c) -c*f'(c).

wie gewünscht.

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Was man hier aber, wie oben gesehen, gar nicht machen muss...

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muss man deinen(az0815) Lösungsvorschlag nicht auch umformen.

Und bei 2 muss man einfach nur einsetzen und nicht begründedn?