Beweisen Sie, dass es sich bei den folgenden Verknüpfungen um Monoide handelt.

Question

Kann mir bei dieser Aufgabe jemand behilflich sein?



Beweisen Sie, dass es sich bei den folgenden Verknüpfungen um Monoide handelt:

- (IR^2, o) mit (x1, y1) o (x2, y2) := (x1x2, x2y1 + y2) und

- (IZ ^2, *) mit (x1, y1) * (x2, y2) := (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1).



Also die Zahle hinter x und y sind alle tiefergestellt... weiß leider nicht, wie ich das hier anders darstellen soll.

Answer 1

Erstmal: Ich denke, da ist ein Fehler in deiner Nachricht. So ist die erste Verknüpfung nämlich kein Monoid, dafür müsste sie (x₁, y₁)•(x₂, y₂) = (x₁x₂, x₂y₁+y₂x₁) lauten.

Dafür musst du zwei Dinge zeigen:

1.) Die Operation ist assoziativ: a•(b•c) = (a•b)•c

2.) Es existiert ein neutrales Element e mit der Eigenschaft: a•e = e•a = a

 

ad 1.) Seien (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) ∈ ℝ². Dann gilt:

(x₁, y₁)•((x₂, y₂)•(x₃, y₃)) = (x₁, y₁)•(x₂x₃, x₃y₂+y₃x₂) = (x₁x₂x₃, x₂x₃y₁+x₁x₃y₂+x₁x₂y₃)

= (x₁x₂x₃, (x₂y₁+x₁y₂)x₃+(x₁x₂)y₃) = (x₁x₂, x₂y₁+x₁y₂)•(x₃,y₃) = ((x₁, y₁)•(x₂, y₂))•(x₃, y₃)

Also ist die Verknüpfung assoziativ.

ad 2.) Das neutrale Element findet man einfach, indem man fordert, dass e=(e₁, e₂)∈ℝ² das neutrale Element ist:

Dann muss gelten:

(x,y)•e = (xe₁, e₁y + e₂x) = (x, y)
Wobei man über das letzte Gleichheitszeichen noch ein Ausrufezeichen machen kann, um anzudeuten, dass die Gleichheit zu fordern ist.

Ein Paar von Zahlen ist genau dann gleich, wenn ihre jeweiligen Komponenten gleich sind, also:

xe₁ = x

ye₁+xe₂ = y

Daraus folgt:
e₁ = 1

e₂ = 0

e = (1, 0)

 

Die zweite Aufgabe funktioniert genauso. Traust du dir das selbst zu?

Comments

Eins hab ich vergessen: Zu prüfen ist noch, dass e auch das linksneutrale Element ist, also dass auch

e•(x,y) = (x,y) gilt:
 

(1, 0)•(x,y) = (1*x, 1*y+0*x) = (x, y)

Also ist e tatsächlich das neutrale Element.

---

Ich habe die Frage zwar nicht gestellt, aber muss ein Kommilitone von mir sein, ich sitze gerade an der zweiten Aufgabe. Da komme ich gerade nicht weiter.

Ausgangsform ist ja

(x₁,x₂) * ( (x₂y₂) * (x₃y₃) )

der nächste Schritt ist ja dann

(x₁y₁) * (x₂x₃ - y₂y₃, x₂y₃ + x₃y₂)

oder? Und danach komme ich leider nicht weiter...