Bruchterm vereinfachen: 4/(x^3 + 2·x^2) + 4/(x^4 - 4·x^2) + 1/(x^2 + 4·x + 4) - 1/(x^2 - 4)

Question

Bruchterm vereinfachen:

\( \frac{4}{x^{3}+2 x^{2}}+\frac{4}{x^{4}-4 x^{2}}+\frac{1}{x^{2}+4 x+4}-\frac{1}{x^{2}-4} \)

Die Lösung lautet:

\( 4/(x^4+4x^3+4x^2) \)

Answer 1

4/(x^3 + 2·x^2) + 4/(x^4 - 4·x^2) + 1/(x^2 + 4·x + 4) - 1/(x^2 - 4)

Wir faktorisieren die Nenner

4/(x^2·(x + 2)) + 4/(x^2·(x + 2)·(x - 2)) + 1/(x + 2)^2 - 1/((x + 2)·(x - 2))

Nun bringen wir alles auf den Hauptnenner

(4·(x + 2)·(x - 2) + 4·(x + 2) + 1·x^2·(x - 2) - 1·x^2·(x + 2)) / (x^2·(x + 2)^2·(x - 2))

Zähler vereinfachen

((4·x^2 - 16) + (4·x + 8) + (x^3 - 2·x^2) - (x^3 + 2·x^2)) / (x^2·(x + 2)^2·(x - 2))

(4·x - 8) / (x^2·(x + 2)^2·(x - 2))

Zähler faktorisieren

4·(x - 2) / (x^2·(x + 2)^2·(x - 2))

Kürzen

4 / (x^2·(x + 2)^2)

Fertig

PS: Ich hätte hier den Nenner nicht mehr Ausmultipliziert. Das gibt keinen weiteren Gewinn in der Vereinfachung.