Laplace-Transformation, Bildfunktion der Originalfunktion berechnen (Rechteckimpuls)

Question

Aufgabe:

Berechne mit Hilfe der Def.-Gleichung der Laplace-Transformation die Bildfunktion der folgenden Originalfunktion (Rechteckimpuls):

\( f(t) = \left\{\begin{array}{ll}{A} & {\text { für } 0<t \leq a} \\ {-A} & {\text { für } a<t \leq 2 a} \\ {0} & {\text { sonst }}\end{array}\right. \)

Zeichne zunächst die Skizze von f(t).

Lösung:

\( \frac{ A(1-e^{-as})^2 }{ s } \)

Answer 1

\( \begin{aligned} F(s) &=\int \limits_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} d t \text { allgemein } \\ &=\int \limits_{0}^{a} A \cdot e^{-s t} d t+\int \limits_{a}^{2 a}(-A) e^{-s t} d t \\ & \quad+\int \limits_{2 a}^{\infty} 0 \cdot e^{-s t} d t \\ &=\frac{A\left(1-e^{-a s}\right)^{2}}{s} \end{aligned} \)