Lagrangemultiplikator: NB φ(x,y) = 0 ist doch keine Kontur, oder? + Was, wenn φ(x,y) = unbekannt?

Question

1. Wenn ich die φ(x,y) = 0 als Nebenbedingung habe, und nach der Tangente dieser Kontur suche, die 0 betragen soll, dann ist das doch nichts anderes als das Suchen nach einem Extremum, für das φ'(x,y) = 0 gilt, richtig? Bloß wie kann man bei einer solchen Funktion, die ja konstant ist, von einer "Kontur" sprechen? φ ist doch dann einfach nur ein Punkt, oder nicht?

2. Was, wenn ich nicht weiß, was für φ(x,y) herauskommt?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Antwort zur Frage 1:

Die Verwendung von Lagrangemultiplikatoren in der Optimierung beinhaltet häufig eine Funktion \(\phi(x, y)\), die eine Nebenbedingung darstellt, von der wir annehmen, dass sie konstant ist, beispielsweise \(\phi(x, y) = c\). Das bedeutet, dass wir bei der Suche nach einem Extremum die Funktion, die wir optimieren wollen, unter der Bedingung betrachten, dass \(\phi(x, y)\) konstant bleibt.

Die Idee, dass \(\phi(x, y) = 0\) eine "Kontur" ist, mag irreführend erscheinen, wenn man die Funktion als Punkt sieht. In der Praxis wird mit \(\phi(x, y) = 0\) die sogenannte Niveaukurve angesprochen. Diese besagt, dass die Wertepaare \((x, y)\) gesucht werden, die die Nebenbedingung erfüllen. Das sind nicht zwingend einzelne Punkte sondern eine Menge von Punkten im \((x, y)\)-Raum, die alle die Bedingung \(\phi(x, y) = 0\) erfüllen.

Ein sehr einfaches Beispiel wäre \(\phi(x, y) = x^2 + y^2 - 1\). Hier würde \(\phi(x, y) = 0\) den Einheitskreis beschreiben, der alle Punkte \((x, y)\) umfasst, bei denen die Summe der Quadrate von \(x\) und \(y\) gleich eins ist.

Wenn nach Extremwerten gesucht wird, die auf der Kontur \(\phi(x, y) = 0\) liegen, bedeutet das nicht, dass die Ableitung \(\phi'(x, y) = 0\) sein muss, sondern dass im Fall der Lagrange-Methode die Gradienten der Zielfunktion und der Nebenbedingung proportional sein müssen: \(\nabla f(x, y) = \lambda \nabla \phi(x, y)\).

Antwort zur Frage 2:

Wenn \(\phi(x, y) = \text{unbekannt}\), bedeutet das, dass die genaue Form der Nebenbedingung nicht gegeben ist. In der Praxis wäre es ungewöhnlich, eine Nebenbedingung ganz ohne weitere Informationen zu haben, da diese das Problem definiert.

Sollten keine expliziten Formeln für \(\phi(x, y)\) vorliegen, arbeitet man meist mit allgemeinen Annahmen über die Natur der Bedingung oder man verwendet numerische oder analytische Methoden, um \(\phi(x, y)\) aus gemessenen Daten oder spezifischen Problemen abzuleiten.

Zusammengefasst versucht die Methode der Lagrangemultiplikatoren nicht, \(\phi'(x,y) = 0\) zu setzen, sondern die Lösung von \(\nabla f(x, y) = \lambda \nabla \phi(x, y)\) unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen zu lösen. Gibt es keine funktionelle Form für \(\phi(x, y)\), dann sind zusätzliche Daten oder analytische Ansätze erforderlich.