Wie teilt S folgende Strecken? Transversalen: AF und DE.

Question

Im Rechteck ABCD wird die Strecke AB durch E im Verhältnis 4:1, BC durch F im Verhältnis 1:1 geteilt.

Wie teilt S dann folgende Strecken:

(a) Die Transversalen: AF und DE.

Answer 1

Verlängere die Strecke \(DE\), so dass sie die Verlängerung der Strecke \(BC\) in \(D'\) schneidet.

Die beiden Dreiecke \(AED\) und \(BED'\) sind ähnlich. Da \(AE:EB\) im  Verhältnis \(4:1\) stehen, müssen auch \(DA:D'B\) im gleichen Verhältnis \(4:1\) stehen. Die Strecke \(D'B\) ist also \(=\frac{1}{4}b\) und \(D'F=\frac{3}{4}b\) bzw. \(DA:D'F=4:3\). Ebenso sind die Dreiecke \(ASD\) (grün) und \(FSD'\) (orange) ähnlich. Und aus \(DA:D'F=4:3\) folgt für die Transversale \(AF\), dass $$AS:SF=4:3$$Das Verhältnis von \(DS:SE\) ist etwas aufwendiger zu berechnen. Aber man kann nun direkt ablesen, dass \(DS:SD'=4:3\) und \(DE:ED'=4:1\) ist. D.h. auch, dass man die Strecke \(DD'\) einmal in 7(4+3) und einmal in 5(4+1) Teile unterteilen kann. Das KGV wären dann 35 Teile - ich bringe die Verhältnisse jetzt auf diesen 'Hauptnenner':

$$DS:SD'=4:3=20:15 \quad DE:ED'=4:1=28:7$$

die Strecke \(DD'\) noch mal zur Klarstellung gezeichnet:

Und daraus folgt für die Transversale \(DE\):

$$DS:SE=DS:(SD'-D'E)=20:(15-7)=20:8=5:2$$

Comments

Ich habe gerade gesehen, dass sich die meisten Deiner bisherigen Fragen mit Vektorrechnung beschäftigen. Du kannst diese Aufgabe natürlich auch so lösen:

Im Dreieck \(ASE\) gilt

$$\vec{AS} + \vec{SE} = \vec{AE}$$Sei \(s=DS:DE\) und \(r=AS:AF\) und \(a=\vec{AB}\) sowie \(b=\vec{AD}\), dann ist:

$$r(a + \frac{1}{2}b) + (1-s)(\frac{4}{5}a - b) = \frac{4}{5}a$$ Sortieren nach \(a\) und \(b\) gibt:

$$a(r - \frac{4}{5} s) + b(\frac{1}{2}r - 1 + s)=\vec{0}$$ Damit die Gleichung immer erfüllt ist, mussen die Faktoren vor \(a\) und \(b\) gleich 0 sein. Damit erhält man zwei Gleichung mit den Unbekannten \(r\) und \(s\) und den Lösungen:

$$r = \frac{4}{7} \quad s=\frac{5}{7}$$

und daraus folgen die Verhältnisse für die Teilstrecken

$$AS:SF = r : (1-r)=\frac{4}{7} : \frac{3}{7}= 4:3$$

$$DS:SE = s : (1-s)=\frac{5}{7} : \frac{2}{7}= 5:2$$

PS.: Du kannst ja mal die erste Lösung (die ohne Vektoren) Deinem Lehrer präsentieren und uns dann schreiben wie er reagiert hat ;-)