Extremalprobleme, Exponentialfunktionen

Question

Ein Reststück Spiegelglas hat auf einer Seite eine krumme Berandung, die angenähert durch den Graphen der Funktion f(x)= 2*e^{-x} erfasst werden kann.

Aus der Spiegelscherbe soll wie abgebildet ein reckteckiges Teil A ausgeschnitten werden

Welche Breite x und welche Länge y muss dieses Teil erhalten, damit seine Fläche maximal wird?

Mein bisheriger Ansatz:

f(x)= 2*e^{-x}

A(x,y)= x*y

A(x) =x * (2*e^{-x})

A(x)= 2*x*e^{-x}

wie gehe ich weiter vor?

Bitte gebt mir nur Ansätze, ich würde selber auf die Lösung kommen.

Answer 1

Das Bild fehlt zwar aber bis hierhin
A(x)= 2*x*e^-x
ist es richtig.

Die Aufgabenart nennt man Extremwertaufgaben.

Wann hat die Funktion A ( x ) ihr Maximum ?
Im Maximum ist die Steigung null.
- 1.Ableitung bilden
- zu null setzen
- x ausrechnen

Produktregel anwenden
A ´( x ) = 2 * [ 1 * e^{-x} + x* e^{-x}*(-1) ]
A  ( x ) = 2 * e^{-x} * ( 1 - x )
zu null setzen
2 * e^{-x} * ( 1 - x ) = 0
x ausrechnen
2 * e^{-x} * ( 1 - x ) = 0
Satz vom Nullprodukt : Ein Produkt ist dann 0
wenn mindestens 1 Faktor 0 ist.
e^{-x} ist stets ungleich 0
1 - x = 0
x = 1

Comments

und was genau ist jetzt die "Breite/Länge? Wie ermittle ich diese Werte?

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Aus der Spiegelscherbe soll wie abgebildet ein reckteckiges Teil A ausgeschnitten werden
Vielleicht kannst du einmal die Abbildung
einstellen.
x ist auf der x-Achse.
f ( x ) ist der Funktionswert in y-Richtung.

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f(x)= 2*e^-x
f ( 1 ) = 2 * e^{-1} = 0.74

1 x 0.74

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aber das ist doch der Punkt, der auf der Funktion liegt, sodass A max. wird?

A befindet sich im Ursprung also lese ich einfach den verschobenen x Wert nach rechts ab und die y-Koordinate P(x/y), so habe ich die Länge x und Breite y?

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Ich denke den wollten wir finden.

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ich habe mich die ganze Zeit gewundert, warum kein zusätzl. Wert angegeben worden ist. Zb. das die Spiegelscherbe nur 2m lang oder so ausgeschnitten werden sollte.Dann hätte ich ja zusätzlich die Nebenbedingung =2 setzen können etc...

Aber danke!

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Hier noch die Skizze

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ja,genau so sieht sie aus!

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Hier der Verlauf von A in Abhängigkeit
von x
A ( x ) = 2 * x * e^{-x}

Das Maximum ist bei x = 1

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wäre als erste Ableitung auch

e^-x * (-2x+2) gegangen?

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e^-x * (-2x + 2)  | 2 ausklammern
2 * e^-x * ( -x +1)
2 * e^-x * ( 1 - x )

Answer 2

Ableitung bilden und diese Null setzen.

A(x) = 2·x·e^{-x}

A'(x) = (2·x)'·e^{-x} + 2·x·(e^{-x})'

A'(x) = 2·e^{-x} + 2·x·(-e^{-x})

A'(x) = 2·e^{-x}·(1 - x) = 0 --> x = 1