Rekonstruktion (Quadratische Funktion aufstellen mit 3 Punkten)

Question

A (1 l 1)

B (2 l 2)

C ( 3 l 5)

Könnt ihr mir vielleicht dabei helfen es auszurechnen? Ich komm nach dieser Rechnung nicht weiter:

f(x)=ax2+bx+c

I  1 = a+b+c

II  2 = 4a+2b+c

III  5 = 9a+3b+c

Answer 1

(1)  1 = a+b+c
(2)  2 = 4a+2b+c
(3)  5 = 9a+3b+c

Subtrahiere (1) von (2) und (3):

(1)  1 = a+b+c
(4)  1 = 3a+b
(5)  4 = 8a+2b

Subtrahiere 2*(4) von (5):

(1)  1 = a+b+c
(4)  1 = 3a+b
(6)  2 = 2a

Dividiere (6) durch die Zahl 2:

(1)  1 = a+b+c
(4)  1 = 3a+b
(7)  1 = a 

Subtrahiere (7) von (1) und 3*(7) von (2):

(8)  0 = b+c
(9)  -2 = b
(7)  1 = a

Subtrahiere (9) von (8):  

(10)  2 = c
(9)  -2 = b
(7)  1 = a

Setze probeweise zum Aufspüren von Fehlern
(10), (9) und (7) in (1), (2) und (3) ein.

Answer 2

Das Ganze nennt sich " Lösung eines linearen
Gleichungssystems ".
Es gibt verschiedene Möglichkeiten zur Lösung.
I 1 = a+b+c
II  2 = 4a+2b+c
III  5 = 9a+3b+c

1 = a+b+c
c = 1 - a - b

Einsetzen
2 = 4a+2b+c
2 = 4a + 2b + 1 - a - b
1 = 3a  + b

5 = 9a+3b+c
5 = 9a+3b+c + 1 - a- b
4 = 8a + 2b

1 = 3a  + b  | *2
4 = 8a + 2b

2 = 6a  + 2b 
4 = 8a + 2b | abziehen
---------------
-2 = -2a
a = 1
Einsetzen
1 = 3a  + b
1 = 3  + b
b = -2
Einsetzen
1 = a+b+c
1 = 1 - 2 + c
c = 2

Bitte alles nachprüfen.
Bei Fragen wieder melden.

Answer 3

Vielleicht eine Alternative ohne Rechnung.

Zeichne die Punkte im Koordinatensystem ein.

Wenn nun A der Scheitelpunkt wäre, dann geht es von dort aus

einerseits 1 nach rechts und 1 nach oben,

andererseits auch 2 nach rechts und 4 nach oben.

Da 1 = 1^2 und 4 = 2^2 , passen die Punkte zu einer verschobenen Normalparabel (also vielleicht auch zu deiner Schablone, die du für solche Fälle gebastelt hast.

Die Parabelgleichung ist dann y = (x-1)^2 + 1 .

Zum Vergleich mit den rein rechnerischen Resultaten, kannst du hier noch die Klammern auflösen.