Quadratische Funktion aufstellen mit 3 Punkten

Question

ich hab folgendes gerechnet:

f(x) = ax^2 + bx + c

Gegeben: P1(-1|1); P2(2|4); P3(4|20)

f(-1) = a*(-1)^2 + b*(-1) + c = 1
f(2) = a*2^2 + b*2 + c = 4
f(4) = a*4^2 + b*4 + c = 20

f(-1) subtrahieren mit f(2)
f(2) subtrahieren mit f(4)

(1a - 1b + 1c) - (4a + 2b + 1c) = 1-4
= -3a + b = -3

(4a + 2b + 1c) - (16a + 4b + 1c) = 4-10
= -12a - 2b = -16

c= 1

-3a + b = -3 ||*(-12)
36a - 12b = 36

-12a - 2b = -16 ||*(-3)
36a + 6b = 48

abziehen

-2b - 6b = 36 - 48
-8b = 12 ||:(-8)
b= -1,5

Fehlt noch a

16a + 4b + 1c = 20
16a + 4b = 19 ||-4b (was ja 4*(-1,5) sind)
16a = 19- (-6)
16a = 25 ||:16
a= 1,5625

f(x) = 1,5625x^2 + (-1,5)x + 1

Punktprobe:

f(-1)= 1,5625*(-1)^2 + (-1,5)*(-1) + 1 = 4,0625

Problem:

Die Punktprobe zeigt, dass es irgendwo einen Fehler geben muss. Kann mir vielleicht jemand helfen? Waere ueber Hilfe sehr dankbar!

Mit freundlichen Grüßen, Sabrina

Answer 1

Hallo Sabrina, dein Mangel an elementarer Algebra
hat wieder Fehler entstehen lassen die nicht notwendig
wären.
Deine Gedankengänge sind schon gamz gut
Mach nicht zuviel Rechenschritte auf einmal

f(-1) = a*(-1)^2 + b*(-1) + c = 1
f(2) = a*2^2 + b*2 + c = 4
f(4) = a*4^2 + b*4 + c = 20

a*(-1)^2 + b*(-1) + c = 1
a*2^2 + b*2 + c = 4
a*4^2 + b*4 + c = 20

Alles richtig, dann ausmultiplizieren

1a - 1b + 1c = 1
4a + 2b + 1c = 4
16a + 4b + 1c = 20

2 von 1 abziehen

1a - 1b + 1c - ( 4a + 2b + 1c ) = 1 -4
1a - 1b + 1c - 4a - 2b - 1c ) = -3
-3a - 3b = -3

3 von 2 abziehen
4a + 2b + 1c - ( 16a + 4b + 1c ) = 4 -20
4a + 2b + 1c - 16a - 4b - 1c  = -16
-12a - 2b = -16

Aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
mach 1 Gleichung mit 1 Unbekannten
Einsetzverfahren
-3a - 3b = -3  | : 3
-a - b = -1
b = -a +1
Einsetzen in 2
-12a - 2b = -16
-12a - 2 * ( -a +1 ) = -16
-12a + 2a -2 = -16
-10a = -14
a = -14 / -10
a = 1.4

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Comments

Hallo danke fuer die ausfuehrliche Antwort!

Bei

-12a + 2a - 2 = -16

-10 a = -14

Was ist da passiert? -12a + 2a sind -10a , aber was ist mit der -2? Rechnet man ||-2?

Ich glaub ich hab mir das jetzt schon selbst beantwortet

Wie wuerde die quadratische Funktion aussehen:

F(x) = 1,4x^2 - 0,4x + 1 stimmt das?

Wenn P1 nicjt (-1|1) gewesen waere, waere ich doch gar nicht auf c gekommen. Was haette ich dann gemacht?

Muss man nicht mit dem Koeffizienten multiplizieren am Ende?

So viele Fragen es tut mir so leid, aber Sie erklaeren das wirklich am aller aller besten!

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Was ist da passiert? -12a + 2a sind -10a , aber was
ist mit der -2? Rechnet man ||-2?
-12a + 2a - 2 = -16 | +2
-10a + 0 = -16 + 2
-10a = -14

Wie wuerde die quadratische Funktion aussehen:
f(x) = 1,4x^2 - 0,4x + 1 stimmt das?
Das ist die Funktion der andern beiden Antwort-
geber. Mach die Probe und setze die gegebenen
Punkte in die gefundene Lösung ein
( -1 | 1 )
f ( -1 ) = 1,4 * (-1)^2 - 0,4 *(-1) + 1 = 1

Wenn P1 nicjt (-1|1) gewesen waere, waere ich doch gar nicht auf c gekommen. Was haette ich dann gemacht?
Bisher bei mir
a = 1.4
b = -a +1  = -1.4 + 1 = - 0.4
dann
a*(-1)^2 + b*(-1) + c = 1
1.4*(-1)^2 + (-0.4)*(-1) + c = 1
1.4 + 0.4 + c = 1
1.8 + c = 1
c = - 0.8

So viele Fragen es tut mir so leid, aber Sie erklaeren das wirklich am aller aller besten!

Deine Fragen sind mir als Kurzweil recht.

Answer 2

Prüfe nochmals deine Zeile

(1a - 1b + 1c) - (4a + 2b + 1c) = 1-4
= -3a + b = -3

Das b stimmt hier denke ich nicht.

So hätte ich es gelöst

a - b + c = 1
4·a + 2·b + c = 4
16·a + 4·b + c = 20

II - I ; III - I
3·a + 3·b = 3
15·a + 5·b = 19

II - 5·I
- 10·b = 4 → b = -0.4

3·a + 3·(-0.4) = 3 → a = 1.4

(1.4) - (-0.4) + c = 1 → c = -0.8

Answer 3

Aloha :)

$$\begin{array}{l}1&=&f(1)&=&a&-b&+c\\4&=&f(2)&=&4a&+2b&+c\\20&=&f(4)&=&16a&+4b&+c\end{array}\quad\begin{array}{l}\\\left|-4\right.\cdot I\\\left|-16\cdot I\right.\end{array}$$$$\begin{array}{l}a&-b&+c&=&1\\0&+6b&-3c&=&0\\0&+20b&-15c&=&4\end{array}\quad\begin{array}{l}\\\left|:6\right.\\\left|:5\right.\end{array}$$$$\begin{array}{l}a&-b&+c&=&1\\0&+b&-0,5c&=&0\\0&+4b&-3c&=&0,8\end{array}\quad\begin{array}{l}\left|+II\right.\\\left.\right.\\\left|-4\cdot II\right.\end{array}$$$$\begin{array}{l}a&+0&+0,5c&=&1\\0&+b&-0,5c&=&0\\0&+0&-c&=&0,8\end{array}\quad\begin{array}{l}\left|+0,5\cdot III\right.\\\left|-0,5\cdot III\right.\\\left|\cdot(-1)\right.\end{array}$$$$\begin{array}{l}a&+0&+0&=&1,4\\0&+b&+0&=&-0,4\\0&+0&+c&=&-0,8\end{array}$$