E-Funktion als Schar. fa(x)=a-15*e^{-0.1x}

Question

gegeben ist die Fkt. fa(x)=a-15*e^{-0.1x}

a) bestimmen Sie den Wert von a so, dass fa(0)=5 ist

f(0)=5

5= a-15*e^{-0.1*0}

5=a-15 | +15

a=20

f20(0)= 5e^{-0.1*0}

=5

b) An welcher Stelle ist f‘20(x)=1

f20(x)=a-15*e^{-0.1x}

=20-15 * e^{-0.1x}

= 5e^{-0.1x}

f‘20(x)= -0.5e^{-0.1x}

1= -0.5e^{-0.1x}

-2= e^{-0.1x} | ln

Aber hier geht es ja nicht weiter

Der ln (-2) ist nicht möglich. kann mir jemand sagen, wo ich meinen Fehler mache?

Answer 1

Bei b.) komme ich auf
An welcher Stelle ist f ‘ 20 ( x ) = 1

f 20 ( x ) = 20 - 15 * e^-0.1x
f ´ 20 ( x ) = -0.1 * - 15*e^-0.1x
f ´ 20 ( x ) = 1.5 * e^-0.1x

1.5 * e^-0.1x = 1
e^{-0.1x} = 1 / 1.5
-0.1*x = ln ( 1 / 1.5 )
x = 4.05465

Die Funktionswerte von f20 sind nach oben begrenzt. Geben Sie diese obere Grenze G an.

Verhalten an den Rändern

lim x −> ∞ [ 20 - 15 * e^-0.1x ] = 20
^{und was passiert bei
lim x −> -∞ [ 20 - 15 * e-0.1x ] =  -∞}

Wo erreichen die Funktionswerte von f20 90% des Wertes G?

Bitte nur ein Ansatz

f ( x ) = 20 - 15 * e^{-0.1x} = 0.9 *20

Answer 2

=20-15 * e^-0.1x

= 5e^-0.1x

Hier ist der Fehler: Punkt vor Strich,

es bleibt bei  f₂₀(x) =20-15 * e^-0.1x

f‘₂₀(x)= 1.5e^-0.1x

1= 1.5e^-0.1x

2/3= e^-0.1x | ln

-0,405 = -0,1x

4,05 = x

Comments

Die Funktionswerte von f20 sind nach oben begrenzt. Geben Sie diese obere Grenze G an.

Wo erreichen die Funktionswerte von f20 90% des Wertes G?

Bitte nur ein Ansatz

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Zeige f20 ist mon. steigend und betrachte den Grenzwert für x gegen unendlich.

~plot~ 20-15 * exp(-0.1x); [[-5|25|-10|20]] ~plot~

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Ich hatte Monotonie in Zusammenhang mit e-fkt. noch gar nicht. Wie geht das denn?

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Zeige:  f ' (x) > 0 für alle x ∈ℝ.

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Wie denn?...

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 f ‘₂₀(x)= 1.5e^-0.1x  =   1,5   *   e ^-0,1x   

es ist 1,5>0 und e hoch iregndwas ist immer > 0 ,

also auch das Produkt und damit   f ‘₂₀(x) > 0

für alle reellen x.. Damit ist f20 streng monoton 

steigend über IR. Und da der 

Grenzwert für x gegen unendlich gleich 20 ist,

ist 20 eine obere Schranke für die Funktionswerte.

Und zwar ist es die kleinste obere Schranke, also 

die obere Grenze = supremum.

Und ab wann f20(x) > 18 ist, findest du durch das Lösen der

Gleichung  f20(x) = 18 .

Ich bekomme x=20,15

Answer 3

....

=20-15 * e^-0.1x

≠  5e^-0.1          Punkt- vor Strichrechnung! 

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f₂₀(x) = 1

20 - 15·e^{- 0.1·x} = 1   | -1   |  +  15·e^{- 0.1·x}   |  ↔

15·e^{- 0.1·x} = 19   | : 15

e^{- 0.1·x}  = 19/15    | ln anwenden

- 0.1 · x = ln(19/15)    | * -10

  →  x = - 10·LN(19/15)  ≈  - 2.3639 

Gruß Wolfgang

Comments

Ich erhalte da x=4.00478

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f₂₀ ' (x) = 1   hat die Lösung   x ≈ 4.054651081

  der '  war bei   f‘20(x)=1 in der Frage nicht gut zu sehen.