E-Funktionen, Waldgebiet wird im Norden durch die Randkurve f(x)=x*e^{-0.5x} begrenzt. Wanderweg orthogonal…

Question

ein Waldgebiet wird im Norden durch die Randkurve f(x)=x*e^{-0.5x} begrenzt.

Ein Wanderweg trifft im Wendepunkt W orthogonal auf die nördliche Randkurve des Waldes. Wie lautet die Geradengleichung des Wanderweges?

Soll ich hier die Tangentengleichung aufstellen? Der wendepunkt ist (2/2e^-1)

Answer 1

Hier die Berechnungen
meines Matheprogramms

ich erkläre die einzelnen Rechenschritte
auch gern.

Answer 2

 f(x)=x * e^-0.5x  →  f "(x) = e^{- x/2}·(x - 4)/4 

 ich erhalte den Wendepunkt  W(4 | 4/e²)

> Wanderweg trifft im Wendepunkt W orthogonal (= senkrecht) auf die nördliche Randkurve des Waldes

Für den Wanderweg gilt dann die Normalengleichung im Wendepunkt :

y = - 1/f '(4) * (x - 4) + 4/e²  =  - 1/(- e^{-2})·(x - 4) + 4/e^2 

                   =  e²· (x - 4) + 4/e^2  ≈  7.389·x - 29.015      (nachträglich ergänzt) 

Gruß Wolfgang

Comments

Wie kommst du auf -29,....

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- 1/(- e^-2)·(x - 4) + 4/e²  =  e² · (x - 4) + 4/e² 

       = e^2 · x - 4·e^2 + 4/e²   ≈ 7.389056098 · x  - 29.01488326 

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Ich habe:

4e^-2 = -1/ -1e^-2 * 4 +b

?

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Dann wäre b=0 und das kann nun wirklich nicht sein.

aber  4e^-2 = -1/ (-e^2) * 4 + b  ergibt  b = -29.01488326

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Aber

y= 4e^-2

x= 4

mt= -e^-2

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Was ist falsch?

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Wie kommst du auf f‘(4)* (x-4)?

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Die Gerade durch den Punkt P( x_p | y_p ) mit der Steigung m hat die Gleichung

y = m • ( x - x_p ) + y_p            [ Punkt-Steigungs-Formel ]   

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y =  f '(a) * (x-a) + b   ist die Gleichung einer Tangenten im Punkt (a|b) 

y = -1/f '(a) * (x-a) + b   ist die Gleichung einer Normalen im Punkt (a|b)

> y= 4e^-2   ,  x= 4 ,  mt = -e^-2    (m_t = Tangentensteigung!)

> Was ist falsch?

Der Wanderweg steht senkrecht auf der Kurve, dann brauchst du die Steigung der Normalen (wie oben bereits erwähnt) und die ist gleich -1/m_t

Entweder du stellst mir jetzt deine komplette Rechnung ein, dann sage ich dir, was falsch ist. Oder du hältst dich an meine!

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Meine Rechnung:

0 = -1 / -1e^{-2} * 4 + 4e^-2 /+29.56

+29.56= 4e^{-2} | ln

klappt nicht

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> 0 = -1 / -1e^-2 * 4 + 4e^-2 /-29.56   ??

Wenn das eine Gleichung sein soll, wo ist die Unbekannte?  

y = mx + b        mit  m_N  =  -1 / (-1e^-2 )   im Punkt  W(4 | 4e^-2 )  

Dann würde  

4e^-2  =  -1 / (-1e^-2 ) * 4  + b    Sinn machen:

b = 4e^-2  -  e² * 4 

b  ≈ - 29.01488326   

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Ich verstehe nicht, warum die 4e^-2 doppelt in der Gleichung sind

y= -1/mt  *x +bn

Reicht es denn nicht, wenn man einmal y= 4e^-2 einsetzt?

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Das stimmt, war ein Paste-Fehler im letzten Kommentar, ist inzwischen korrigiert.

und das hatten wir oben in meinem 2.Kommentar auch schon :-):

aber  4e^-2 = -1/ (-e²) * 4 + b  ergibt  b = -29.01488326

Dann müsste jetzt alles klar sein?

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Ja, danke!!! Ändert sich beim Umstellen auch 4e^-2x also das Vorzeichen im Exponenten?

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Wenn du mit "Umstellen"  "auf beiden Seiten Addieren oder Subtrahieren" meinst, nein.

Aber W( 4 | 4/e² )  =  W( 4 | 4·e^-2 )

Das kommt einfach nur darauf an, was man einsetzt.

Answer 3

f(x) = x·e^{- 0.5·x}

f'(x) = 0.5·e^{- 0.5·x}·(2 - x)

f''(x) = 0.25·e^{- 0.5·x}·(x - 4)

Wendestelle

f''(a) = 0 --> a = 4

Wendenormale

n(x) = -1/f'(a) * (x - a) + f(a)

n(x) = e^2 * (x - 4) + 4/e^2 ≈ 7.389056098·x - 29.01488326

Comments

Genau diese Anwendung der Punkt-Steigungs-Formel hat der Fragesteller in meiner Antwort nicht verstanden, weil er die PSF offensichtlich nicht kennt. Ich hätte in den Kommentaren früher auf y = mx + b  "umsteigen" sollen.

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Ich kannte die Punkte-Steigungs-Formel nicht...

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Wo genau die Probleme des Fragestellers ist so nicht ganz klar. er scheint auf sehr viel mehr gebieten Probleme zu haben als nur in der Punkt-Steigungs-Form.

Wobei ich nicht mal weiß ob die Punkt-Steigungs-Form genau das Problem ist.

Es wäre ja schön, wenn Fragesteller immer genau sagen können womit sie Probleme haben.  Aber das weißt du ja sicher ebenso wie ich.

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Ich persönlich finde das Konzept der Verschiebungen von Graphen im Koordinatensystem sehr wichtig. Das ist die Grundlage der Scheitelpunktform und auch der Punkt-Steigungs-Form.

Ebenso braucht man das Konzept für trigonometrische Funktionen.

Daher sollte man sich mit der Punkt-Steigungs-Form meiner Meinung nach mal Beschäftigen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Punktsteigungsform

Auch weil das Aufstellen von Tangenten und Normalen dadurch zum Kinderspiel wird, wie man den Antworten entnehmen kann.

Auch die etwas Schwierigere Variante eine Tangente bzw. Normale von einem Punkt außerhalb des Graphen zum Graphen zu zeichnen wird dann sehr viel einfacher.

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> Daher sollte man sich mit der Punkt-Steigungs-Form meiner Meinung nach mal beschäftigen.

Da stimme ich dir aus ganzem Herzen zu :-) 

Hier im Forum wird allerdings fast ausnahmlos mit  y = m * x + b  gearbeitet.