Trigonometrie Abstand Mittelpunkt In- und Umkreis

Question

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundlinie von 70 dm und einer
Schenkellänge von 55 dm.
Berechnen Sie den Abstand zwischen den Mittelpunkten von In- und Umkreis.

Der Inkreis wird durch die Winkelhalbierenden erstellt, und den Umkreisradius durch die Höhen.

Ich habe herausgefunden, dass die Winkel des gleichschenkligen Dreiecks

alpha und beta 50.48° sind und gamma 79.04°

höhe c 42.43 dm

Wie kann ich jetzt weiter rechnen? Ich muss ja irgendwie die Schnittpunkte der Höhe und die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden finden. Oder gibt es ein einfacherer Lösungsweg?

Answer 1

Es gibt Formeln für die Radien

Inkreis  ri = 2A / (a+b+c) und ra = (a*b*c) / (4A)

wenn a,b,c die Seiten und A der Flächeninhalt sind.

Wegen der Gleichschenkligkeit liegen beide Punkte auf der

Mittelsenkrechten der Basis, die ja zugleich die

eine Winkelhalbierende ist.

Comments

Hallo Mathef

Die Formeln kenn ich noch nicht, die sind ja sehr nützlich.

Für die Fläche brauche ich mein Hc welche ich ausgerechnet habe, hc*70 / 2 = 1484.92 dm^2

Für den ri erhalte ich 16.5

für den ra erhalte ich 7.86

Kann ich jetzt einfach 16.5-7.86 rechnen (die Differenz der Beiden = der Abstand) ?

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Der Inkreismittelpunkt liegt ja natürlich innen und ist ri vom Mittelpunkt der Basis

entfernt. Da du Spitzwinkligkeit ausgerechnet hast, liegt der Umkreismittelpunkt auch

innen und ist ra von der Spitze des Dreiecks entfernt.

Ich bekomme übrigens ra=35,6 .

Wenn du also von C runter gehst, auf der Höhe hc, dann bist du

beim Umkreismittelpunkt 35,6 von C entfernt und bis zur Mitte von c sind es dann

noch 6,8.

Da ri=16,5 ist , gehst du von der Mitte von c sozusagen über den Umkreismittelpunkt

noch 9,7 cm weiter hoch. Also sind die beiden

Mittelpunkte 9,7 cm voneinander entfernt.

siehe auch geogebra-Datei

in_umkreis.ggb (30 kb)

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Danke viel Mals für eure Unterstützung :-)